Два числа и четыре действия

ЗАДАЧА

Предыдущую задачу, которая привела к трем уравнениям с пятью неизвестными, мы решили не по общему образцу, а по свободному математическому соображению. Точно так же будем решать и следующие задачи, приводящие к неопределенным уравнениям второй степени.

Вот первая из них.

Над двумя целыми положительными числами были выполнены следующие четыре действия:

1) их сложили;

2) вычли из большего меньшее;

3) перемножили;

4) разделили большее на меньшее. Полученные результаты сложили – составилось 243. Найти эти числа.

РЕШЕНИЕ

Если большее число х, меньшее у, то

.

Если это уравнение умножить на у, затем раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим:

.

Но . Поэтому

.

Чтобы х было целым числом, знаменатель (у + 1)² должен быть одним из делителей числа 243 (потому что у не может иметь общие множители с у +1). Зная, что 243 = 3⁵, заключаем, что 243 делится только на следующие числа, являющиеся точными квадратами: 1, 3², 9². Итак, (у + 1)² должно быть равно 1, 3² или 9², откуда (вспоминая, что у должно быть положительным) находим, что у равно 8 или 2.

Тогда х равно

или .

Итак, искомые числа: 24 и 8 или 54 и 2.

<Paaaa