§ 7. Уравнение Лагранжа.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называют уравнением Лагранжа, если его запись имеет вид: . (1)

Заметим, в записи уравнения (1) не допускается , так как этот частный случай определяет уравнение Клеро, которое будет рассмотрено в Главе 6.

Для решения уравнения Лагранжа также используют специальный способ – поиск решения в параметрической форме, применяя подстановку: =. С учётом подстановки перепишем уравнение (1): . (2)

Продифференцируем выражения (2) по переменной x , учитывая, что=(через посредство производной):. (3)

Учитывая, что =, перепишем (3):. Известно, что прилюбом постоянномзначении=имеем. Если разность=0, то есть=, то, учитывая подстановку:=, получаем дифференциальное уравнение:=, общим решением которого является функция=, или=.

Если принять =, тобудет решением исходного дифференциального уравнения:

=+. (4)

Если решение (4) не может быть получено из общего решения исходного уравнения ни при каком значении произвольной постоянной, то его называют особымрешением.

Так как возможность равенства исследована, теперь считаем, что, и запишем уравнение:–=. (5)

Уравнение (5) линейное для переменных и, где. Решая это уравнение, получим его общее решение в виде:. Учитывая выражение (2), можем записать общее решение уравнения Лагранжа в параметрической форме:(6)

Если в системе (6) удастся исключить параметр , получим общий интеграл уравнения Лагранжа в виде:. (7)

Анализируя предпринятые для нахождения решения уравнения Лагранжа шаги, запишем стандартный алгоритмего решения:

1). Примем: = и запишем для функции параметрическое выражение: .

2). Исследуем разность: . Если возможно: =0, записываем одно из решений уравнения: =+, которое может оказаться особым.

3). Составим линейное уравнение: –=. Применяя стандартный алгоритм решения линейного уравнения, получим его общее решение: .

4). Запишем общее решение уравнения в параметрической форме: Возможна запись общего решения в виде: .

5). Если решение: =+ не получается из общего решения: ни при каком значении произвольной постоянной величины, объявить это решение особым.

6). Оформляем ответ: записываем общее решение и все частные, выделяя особое.

☺☺

Пример 5–07: Найти решение уравнения Лагранжа: , применяя метод введения параметра.

Решение:

Замечание: При оформлении решения заданного уравнения применяем стандартный алгоритм решения уравнения Лагранжа.

1). Применим подстановку: = и перепишем заданное уравнение: , где, в соответствии с обозначениями уравнения Лагранжа, имеем: = и =.

2). Исследуем разность: . В нашем случае: =0 при значениях =0 и =1. Записываем соответствующие решения =+ уравнения:

а) для =0 → =0;

б) для =1 → =.

Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будут эти решения особыми, или нет.

3). Составим линейное уравнение: –=. В нашем случае (нетрудно получить) это уравнение может быть записано в виде: = – уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение запишем (избавляясь от логарифмов!) в виде: , или в виде .

4). Запишем общее решение уравнения в параметрической форме: Из этой системы удается исключить параметр и получить общий интеграл: .

5). Имея общее решение: , оцениваем полученные ранее частные решения. Решение из общего решения не получается ни при каком значении произвольной постоянной величины, значит это решение особое. Зато решение: получается из общего решения при значении =0 и оно всего лишь одно из частных решений уравнения.

6). Оформляем ответ: записываем общее решение и все частные, выделяя особое.

Ответ: – общее решение в параметрической форме, или ; выделено особое решение: .

Пример 5–08: Найти решение уравнения Лагранжа: , применяя метод введения параметра.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: – уравнения Лагранжа в общем виде. В нашем случае: = и =.

2). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: .

3). Дифференцируем по переменной : . Учитывая =, запишем: . В нашем случае: =, производная = и =. Тогда уравнение имеет вид: =.

4). Выделим решение . В нашем случае: =0. Получено:, , или, используя: , можем записать решения исходного уравнения: и . Эти решения проанализируем после получения общего решения!..

5). Теперь . Учитывая =, перепишем: в виде:

–= – линейное уравнение,

решая последнее, получим . В нашем случае: , его решение найдём применением общего алгоритма решения линейного уравнения:

• Решение уравнения ищем в виде функции: .

• Вычислим: ==, и запишем: u=, то есть .

• Вычислим: ==+, и запишем.

• Запишем общее решение линейного уравнения: =∙. Если последнее записать в виде: =∙+ и в первой дроби выполнить преобразование выделение целой части, то =.

6). Вычислим: =, и запишем: Оценивая полученные ранее решения и , видим, что они не могут быть получены из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной величины , то есть это особые решения.

Ответ: – решение уравнения в параметрической форме. Особые решения: и .

☻