9. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если аx – скалярная проекция вектора а на ось X, то аx·i - его векторная проекция на эту ось. Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим аx (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или (нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси). Скалярной проекцией вектора на ось называется число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция. Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается аx. При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться аy . Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть аx = хк − xн. Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина хк больше величины хн, отрицательной, если величина хк меньше величины хн и равной нулю, если хк равно хн . Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью. Из рисунка видно, что аx = а Cos α то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора. Если угол острый, то Cos α > 0 и аx > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна. Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против. Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.
- 2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам произвольного ряда.
- 3. Матрицы и их свойства. Ранг матрицы.
- 4. Операции над матрицами, обратная матрица.
- 5. Решение и исследование систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
- 6. Решение системы линейчатых неоднородных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.
- 7. Метод Гаусса решения систем линейных неоднородных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- Доказательство (условия совместности системы)
- 9. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- 10. Линейные операции над векторами и их основные свойства. Линейные операции над векторами Сложение векторов
- Вычитание векторов
- Умножение вектора на число
- Свойства линейных операций над векторами
- Линейные комбинации векторов
- 11. Теоремы о проекциях векторов. Условие коллинеарности векторов.
- Условия коллинеарности векторов
- 12. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса.
- Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
- Пример.
- 13. Скалярное произведение векторов. Признак ортогональности векторов.
- 14. Расстояние между двумя точками пространства r3 . Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками в пространстве, формула.
- Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
- 15. Векторное произведение векторов.
- 16. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- 17. Метод координат и основные задачи аналитической геометрии.
- 18. Прямые в r2. Различные виды уравнений прямой в r2
- 19. Нормированное уравнение прямой.
- 20. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вычисление угла между прямыми в r2.
- 21. Расстояние от точки до прямой в r2.
- 22. Линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.
- 23. Каноническое уравнение эллипса.
- 24. Каноническое уравнение гиперболы.
- 25. Каноническое уравнение параболы.
- 26. Преобразование уравнений линий второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос системы координат.
- 28. Параметрическая форма задания уравнения линий в трехмерном пространстве.
- 29. Плоскость в трехмерном пространстве. Различные виды уравнений плоскости.
- 30. Нормированное уравнение плоскости
- 31. Расстояние от точки до плоскости.
- 32. Расстояние между двумя параллельными прямыми.
- 33. Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой.
- 34. Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- 35. Расстояние между перекрещивающимися прямыми в пространстве.
- Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
- 36. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды и гиперболоиды.
- 37. Параболоиды. Уравнения цилиндрических и конических поверхностей.
- 38. Сферическая система координат.