Координаты точки. Построение точки по ее координатам

П усть дана аффинная система координат . Положение точки М плоскости полностью определяется вектором (рис.1.8), который единственным образом раскладывается по базисным векторам и .

(9)

Рис.1.8.

Из теоремы о разложении вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам следует единственность коэффициентов х и у его разложения (9) по базисным векторам и . Таким образом, вектору соответствует единственная пара действительных чисел (х; у).

Определение 5

Вектор называется радиус-вектором точки М.

Определение 6

П ара чисел х, у называется координатами точки М в заданной системе координат и записывается М(х; у).

Соответствие между точкой и радиус-вектором взаимнооднозначное: , в том числе . Если М₁М₂, то х₁х₂ и/или у₁у₂.

Пусть даны и М(х; у). Тогда по правилу параллелограмма (рис.1.9):

= .

Е

Рис.1.9.

Для построения точки достаточно построить параллелограмм ОМ_хММ_у с диагональю ОМ.

Пример 2.

Дано: параллелограмм ABCD, точка О – точка пересечения диагоналей.

Система координат , где .

Н

Рис.1.10.

Решение.

Учитывая, что точка О делит диагонали параллелограмма пополам (рис.1.10):

,

отсюда .