6. Метрические задачи

В прямоугольной декартовой системе координат можно решать все перечисленные выше аффинные задачи на взаимное расположение точек на прямой и плоскости, а также задачи на вычисление расстояний и углов – метрические.

Задача 10. Вычисление расстояния между двумя точками

Дано: , М₁(х₁; у₁), М₂(х₂; у₂)

Найти: расстояние .

Р ешение. Расстояние между двумя точками М₁ и М₂ вычислим как длину отрезка М₁М₂ (рис.1.13), равную длине (модулю, абсолютной величине) вектора :

.

, значит,

.

Рис.1.13.

Тогда

(13)

Расстояние между двумя точками плоскости равно квадратному корню из суммы квадратов разностей одноименных координат.

Пример 6.

Дано: М₁(6; 0), М₂(–2; 1).

Найти: расстояние М₁М₂.

Решение.

.

.

Задача 11. Вычисление площади треугольника

Дано: , А(х₁; у₁), В(х₂; у₂), С(х₃; у₃).

Найти: площадь треугольника АВС.

Решение (рис.1.14).

Рис.1.14.

.

Вычислим площади трапеций А_хВ_хВА, В_хС_хСВ, А_хС_хСА по формуле :

,

аналогично , .

Тогда

.

Точки А, В и С могут располагаться иначе, а определитель, составленный из их координат – положительным или отрицательным числом, поэтому

. (14)

Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то S=0 и, наоборот.

Пример 7.

Дано: А(6; 0), В(–2; 1), С(2; 7).

Найти: .

Решение.

. .

Литература и задания практикума (по УМК):

[2]	гл.1, §1	№ 9-14
[10]	гл.1, §1	№ 1-25
[2]	гл.1, §1	№ 15-25,37-39
[10]	гл.1, §1	№ 41-61,73-85

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2-х частях : учеб. пособие / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : Высшая школа, 1998. – Ч.1.

8. Сборник задач для самостоятельной работы по геометрии / авт.-сост. Т.М. Соромотина. – 2-е изд. – Пермь : Изд-во ПГПУ, 2008.

10. Цубербиллер О.Н. Сборник задач и упражнений по аналитической геометрии / О.Н. Цубербиллер. – 32-е изд. – СПб. : Лань, 2005.