Понятие функции случайной величины

Графиком функции fназывается множество

Борелевской функцией называется такая функция f, графиккоторой является борелевским множеством на плоскости.

Пусть – данная система случайных величин,– данная борелевская функция. Будем говорить, что случайная величинаYесть функцияfот случайной величиныXи записывать этот факт в виде, еслит.е.

44. Задача отыскания закона распределения заданной функции заданной случайной величины

Пусть B– борелевское множество на прямойR, тогда

Так как имеем

И так как

То

Таким образом

Однако

Где

Поэтому

Определив получим

– функция распределения случайной величиныY

45. Первая форма неравенства Чебышева

Пусть Х – случайная величина, такая, что , тогда

Доказательство

46. Вторая форма неравенства Чебышева

Пусть X– случайная величина,M[X]=m– математическое ожидание,– дисперсия. Введем в рассмотрение событие. Тогда

Доказательство

– противоположное событие

47. Теорема Чебышева

Пусть – независимые случайные величины такие, что из математические ожидания одинаковы:, а дисперсии ограничены сверху:.

Пусть , Тогда

Доказательство

48. Теорема Бернулли

Пусть – число успехов в схеме Бернулли с параметрами (n,p). Тогда для любого

Доказательство

– независимые свободные переменные, где– количество успехов в испытании Бернулли.

В условиях теоремы Чебышева

49. Центральная предельная теорема

Закон распределения суммы большого числа случайных величин при весьма общих условиях близок к нормальному закону распределения.

Пусть – независимые случайные величины, имеющие конечные математические ожиданияи конечные дисперсии

Пусть

И выполнено следующее условие: можно подобрать такое , что

50. Точечные оценки неизвестных параметров закона распределения случайной величины: определение, состоятельность, несмещенность, эффективность

Статистика , дающая представление о величине неизвестного параметра, называется точечной оценкой неизвестного параметра.

Оценка называется состоятельной, еслиона сходится по вероятности к оцениваемому значению параметра, т.е.

Оценка называется несмещенной, если её математическое ожидание совпадает со значением неизвестного параметра, т.е.

Оценка называется эффективной, если она обладает наименьшей дисперсией.

51. Состоятельные и несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины

– состоятельная оценка математического ожидания

– несмещенная оценка

– состоятельная и несмещенная оценка

52. Состоятельная и несмещенная оценка для вероятности события

Оценка называется состоятельной, если дляона сходится по вероятности к оцениваемому значению параметра.

Оценка называется несмещенной, если её математическое ожидание совпадает со значением неизвестного параметра

53. Доверительный интервал

Доверительным интервалом для неизвестного параметра называется интервал со случайными концами, зависящими от данных наблюдений за случайной величиной Х, для которого известна вероятность накрытия им значения неизвестного параметра.

54. Построение приближенного доверительного интервала для неизвестной вероятности

Пусть , где– независимые случайные величины.

Так как , то,

Если nдостаточно велико, то в силу центральной предельной теоремы закон распределения случайной величиныбудет близок к нормальному закону распределения с,.

Для введем в рассмотрение событие, где– функция распределения нормального закона распределения

Возьмем теперь достаточно близкое к 1 значение вероятности накрытия интервалом со случайными концамиЗначения неизвестного параметра неизвестного параметраpи составим уравнение

Пусть – корень этого уравнения, разрешенного относительно аргумента функции, тогда имеем, откуда. Следовательно, интервал со случайными концаминакроет неизвестный параметрpс заданной вероятностью, т.е. будет доверительным интервалом дляp.