31. Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле
| (11.7) |
Доказательство. Расстояние от точки до плоскости -- это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость (рис. 11.9).
Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости
Вектор и нормальный вектор n плоскости параллельны, то есть угол между ними равен 0 или , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому
Откуда
| (11.8) |
Координаты точки , которые нам неизвестны, обозначим . Тогда . Так как , то . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим
| (11.9) |
Точка лежит на плоскости , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда находим, что . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим . Так как , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).
- 2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам произвольного ряда.
- 3. Матрицы и их свойства. Ранг матрицы.
- 4. Операции над матрицами, обратная матрица.
- 5. Решение и исследование систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
- 6. Решение системы линейчатых неоднородных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.
- 7. Метод Гаусса решения систем линейных неоднородных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- Доказательство (условия совместности системы)
- 9. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- 10. Линейные операции над векторами и их основные свойства. Линейные операции над векторами Сложение векторов
- Вычитание векторов
- Умножение вектора на число
- Свойства линейных операций над векторами
- Линейные комбинации векторов
- 11. Теоремы о проекциях векторов. Условие коллинеарности векторов.
- Условия коллинеарности векторов
- 12. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса.
- Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
- Пример.
- 13. Скалярное произведение векторов. Признак ортогональности векторов.
- 14. Расстояние между двумя точками пространства r3 . Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками в пространстве, формула.
- Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
- 15. Векторное произведение векторов.
- 16. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- 17. Метод координат и основные задачи аналитической геометрии.
- 18. Прямые в r2. Различные виды уравнений прямой в r2
- 19. Нормированное уравнение прямой.
- 20. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вычисление угла между прямыми в r2.
- 21. Расстояние от точки до прямой в r2.
- 22. Линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.
- 23. Каноническое уравнение эллипса.
- 24. Каноническое уравнение гиперболы.
- 25. Каноническое уравнение параболы.
- 26. Преобразование уравнений линий второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос системы координат.
- 28. Параметрическая форма задания уравнения линий в трехмерном пространстве.
- 29. Плоскость в трехмерном пространстве. Различные виды уравнений плоскости.
- 30. Нормированное уравнение плоскости
- 31. Расстояние от точки до плоскости.
- 32. Расстояние между двумя параллельными прямыми.
- 33. Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой.
- 34. Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- 35. Расстояние между перекрещивающимися прямыми в пространстве.
- Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
- 36. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды и гиперболоиды.
- 37. Параболоиды. Уравнения цилиндрических и конических поверхностей.
- 38. Сферическая система координат.