32. Расстояние между двумя параллельными прямыми.
Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b, отметим на прямой а произвольную точку М1, опустим перпендикуляр из точки М1 на прямую b, обозначив его H1. Отрезок М1H1 соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b.
Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.
Теорема.
Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.
Доказательство.
Рассмотрим параллельные прямые a и b. Отметим на прямой a точку М1, опустим из нее перпендикуляр на прямую b. Основание этого перпендикуляра обозначим как H1. Тогда длина перпендикуляра М1H1 есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению. Докажем, что равно , где М2 – произвольная точка прямой a, отличная от точки M1, а H2 – основание перпендикуляра, проведенного из точки М2 на прямую b. Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.
Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны, то , а прямая M2H2, перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a. Тогда треугольники М1H1H2 и М2М1H2 прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М1H2 – общая гипотенуза, . Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, . Теорема доказана.
Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой
- 2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам произвольного ряда.
- 3. Матрицы и их свойства. Ранг матрицы.
- 4. Операции над матрицами, обратная матрица.
- 5. Решение и исследование систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
- 6. Решение системы линейчатых неоднородных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.
- 7. Метод Гаусса решения систем линейных неоднородных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- Доказательство (условия совместности системы)
- 9. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- 10. Линейные операции над векторами и их основные свойства. Линейные операции над векторами Сложение векторов
- Вычитание векторов
- Умножение вектора на число
- Свойства линейных операций над векторами
- Линейные комбинации векторов
- 11. Теоремы о проекциях векторов. Условие коллинеарности векторов.
- Условия коллинеарности векторов
- 12. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса.
- Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
- Пример.
- 13. Скалярное произведение векторов. Признак ортогональности векторов.
- 14. Расстояние между двумя точками пространства r3 . Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками в пространстве, формула.
- Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
- 15. Векторное произведение векторов.
- 16. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- 17. Метод координат и основные задачи аналитической геометрии.
- 18. Прямые в r2. Различные виды уравнений прямой в r2
- 19. Нормированное уравнение прямой.
- 20. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вычисление угла между прямыми в r2.
- 21. Расстояние от точки до прямой в r2.
- 22. Линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.
- 23. Каноническое уравнение эллипса.
- 24. Каноническое уравнение гиперболы.
- 25. Каноническое уравнение параболы.
- 26. Преобразование уравнений линий второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос системы координат.
- 28. Параметрическая форма задания уравнения линий в трехмерном пространстве.
- 29. Плоскость в трехмерном пространстве. Различные виды уравнений плоскости.
- 30. Нормированное уравнение плоскости
- 31. Расстояние от точки до плоскости.
- 32. Расстояние между двумя параллельными прямыми.
- 33. Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой.
- 34. Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- 35. Расстояние между перекрещивающимися прямыми в пространстве.
- Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
- 36. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды и гиперболоиды.
- 37. Параболоиды. Уравнения цилиндрических и конических поверхностей.
- 38. Сферическая система координат.