4. Операции над матрицами, обратная матрица.

Действия с матрицами:

- сложение матриц можно выполнять, если они одной размерности, при этом соответствующие элементы складываются:

;  ;

- при умножении матрицы на число   все элементы матрицы умножаются на это число:

- матрицы  и  можно перемножить, если число столбцов  множителя равно числу строк  второго множителя.

Отсюда следует, что умножение матриц некоммутативно.

Свойства операции сложения:

 – коммутативность;

 – ассоциативность;

 – дистрибутивность.

Свойства операции умножения:

 – некоммутативность;

 – ассоциативность;

  – дистрибутивность.

Единичной матрицей  называется квадратная матрица, в которой элементы главной диагонали равны , а остальные :

.

Единичная матрица имеет тот же смысл, что и единица в алгебре, т.е.

.

Обратной матрицей  называется матрица, составленная из алгебраических дополнений:

здесь  – определитель квадратной матрицы .

Если ∆(А)=0, то матрица называется вырожденной и обратной не имеет.

Свойство обратной матрицы

.

Это свойство позволяет решать матричные уравнения вида

.

Умножив обе части уравнения слева на А^-1, получим

, или