3 Комплексная плоскость.

В связи с понятием линии на плоскости возникает еще одно затруднение. Нетрудно видеть, что множество решений уравнений   и   не содержит ни одной точки вещественной плоскости или что то же самое эти уравнения не определяют ни каких реальных линий. Поэтому ясно, что ограничиваясь только вещественными значениями координат мы не построим никакой гармоничной теории. Следовательно, необходимо пополнить плоскость, так называемыми мнимыми точками. Это приводит нас к следующему построениюкомплексной плоскости. Пусть дана обыкновенная («вещественная») плоскость и произвольная аффинная система координат  в ней. Точку   плоскости мы отождествляем с парой координат   (что и находит свое выражение в записи  , которой мы широко пользовались, считая   и   произвольными вещественными числами). Теперь мы всякую пару   комплексных чисел также будем считать точкой (комплексной) плоскости, а сами числа   будем называть координатами точки   комплексной плоскости относительно данной системы координат  . При этом точку   будем называть мнимой точкой плоскости, если хотя бы одна из ее координат есть комплексное число, не являющееся вещественным. Две точки   и   будем называть комплексно-сопряженными, если их соответствующие координаты являются комплексно-сопряженными числами. Дальше все идет автоматически. Пара точек   и  , данных в определенном порядке, называется вектором. Комплексные числа   называются координатами вектора  . Два вектора называются равными если равны их соответственные координаты. Аналогично вводятся понятия суммы векторов, умножения вектора на число, линейной зависимости и линейной независимости, деления отрезка в данном отношении. Отметим следующий интересный факт. Середина отрезка с концами в комплексно-сопряженных точках есть действительная точка. Существенным является следующее замечание. Мы определили комплексную плоскость, взяв обыкновенную, вещественную плоскость с заданной в ней аффинной системой координат  . Задать в комплексной плоскости какую-нибудь «новую» систему координат — значит задать вещественную точку  — начало новой системы координат и пару линейно независимых вещественных векторов  (все числа  ). Только такие системы будут рассматриваться. При этом остаются в силе формулы преобразования координат (1). Отсюда, в частности, следует, что понятие комплексной и вещественной точки не зависит от выбора системы координат.