5.1.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение (5.1.2) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть может быть представлена как произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:.

Уравнение (5.1.2) можно переписать в виде: . (5.1.3)

В последнем уравнении переменные разделены. Интегрируя его, найдем общий интеграл уравнения

.

Если существуют значения , при которых функцияобращается в нульто уравнение (10.1.3) будет иметь еще и решения

Пример. . Это уравнение с разделяющимися переменными.

Предполагая, что , разделим переменные:. После интег-

рирования получим:

.

Откуда (общее решение уравнения). Решениесодержится в общем при.

К уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных приводятся и уравнения вида: . Сделаем замену переменной, приняв в качестве новой функции функцию. Тогда. Учитывая, что, получим. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, найдем

.

Пример. . Правая часть этого уравнения есть функция от. Поэтому полагаяполучим:. Разделяем переменныеи интегрируем. Так как, то общий интеграл уравнения имеет вид:.