Кольцо матриц Mm n(f) и векторное пространство матриц Mm n(f)

Определение 4.1. Пусть F – некоторое поле, m, n  N. Прямоугольная таблица вида , где a_ij  F (1  i  m, 1  j  n), называется прямоугольной (m n) - матрицей над полем F с элементами a_ij и обозначают короче || a_ij || или буквами А, В, С, ...

Любая строка этой матрицы есть n-мерный арифметический вектор, а любой столбец – m-мерный арифметический вектор.

Множество всех (m n)-матриц над полем F будет обозначаться через M_{m n}(F). В случае m = n матрица называется квадратной порядка n.

Определение 4.2. Две матрицы A, B  M_{m n}(F) называются равными (пишут А = В), если a_ij = b_ij (1  i  m, 1  j  n).

Другими словами, две матрицы равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые размерности и равные соответствующие элементы.

На некоторых подмножествах множества M_{m n}(F) можно определить две бинарные операции (+ , ·) и две унарные операции (умножение на скаляр и нахождение обратной матрицы).

Определение 4.3. Суммой матриц A = || a_ij ||, B = || b_ij || M_{m n}(F) называется матрица С = A+B = || a_ij || + || b_ij ||= || a_ij+b_{i j} ||  M_{m n}(F) (1  i  m, 1  j  n).

Определение 4.4. Произведением матрицы A = || a_ij ||  M_mn(F) на скаляр   F называется матрица   A= ||  a_ij || M_{m n}(F) (1  i m, 1  j  n).

Определение 4.5. Произведение матриц A = || a_is ||  M_mk (F) и B = || b_sj ||, B  M_{k n}(F) – это матрица С = A B = || c_ij ||= || a_i1 · b_1j+ a_i2 · b_2j + … + a_ik · a_kj ||, С M_mn(F) (1  i  m, 1  j  n, 1  s  k ).

Замечание. Сложение матриц и умножения матриц на скаляры являются алгебраическими операциями на M_mn(F) – множестве матриц одинаковой размерности m × n, а умножение матриц является алгебраической операцией только на множестве M_nn(F) квадратных матриц порядка n.

Теорема 4.1 (о кольце и векторном пространстве матриц).

1) Алгебра (M_nn(F) +, ) является кольцом с единицей. Это кольцо при n > 1 некоммутативно и содержит делители нуля.

2) Алгебра (M_nn(F), +, {w |F}) является векторным пространством над полем F размерности m n.

Замечания: 1.Роль единицы в кольце M_nn(F) играет единичная матрица (у нее на главной диагонали стоят единицы, а все другие элементы равны 0):

Е_n = M_nn(F)

2. Приведем пример делителей нуля в кольце M₂₂(R): если

А = ,В = , тоА · В =

Пример. Вычислим: А ∙ В = ∙.

Воспользуемся правилом умножения матриц:

А ∙ В = = , где

, при i {1, 2, 3}, j {1, 2, 3}. Получим:

∙= =.

Обратимые матрицы. Вычисление обратной матрицы

Определение 4.6. Матрица A  M_nn(F) называется обратимой, если  X M_nn(F) A  X = X  A = E_n.

Матрица X называется обратной матрицей к А и обозначается A^–1.

Определение 4.7. Квадратная матрица А  M_nn(F) называется неособенной (невырожденной), если ее ранг равен порядку n этой матрицы.

Замечание. Квадратная матрица А  M_nn(F) является неособенной (невырожденной) тогда и только тогда, когда |A|  0.

Теорема 4. 2 (критерий обратимости матрицы). Квадратная матрица А M_nn(F) обратима тогда и только тогда, когда она неособенная.

Теорема 4. 3 (о нахождении обратной матрицы).

1) Пусть А – неособенная матрица, А  M_nn(F). Рассмотрим расширенную матрицу В = (A | Е_n), которая получается из А приписыванием справа матрицы Е_n. Если к матрице В применить элементарные преобразования строк так, чтобы слева от черты получилась матрица Е_n, то справа от черты получится матрица А^-1.

(A | Е_n) ~ …~ … (Е_n | A^–1)

2) Пусть A  M_nn(F). Если |A|  0, то A^–1 =  || A_ij|| ^t, где A_ij – алгебраическое дополнение к элементу a_ij матрицы А (1  i  n, 1  j  n).

Пример. Вычислим обратную матрицу А^-1 двумя способами:

А == rang A =3, значит, матрица A обратима.

Вычислим А^-1.

1. Метод элементарных преобразований: ~ ~ ~ .Таким образом, = .

2. С помощью алгебраических дополнений: A^–1 =  || A_ij || ^t (1  i  n, 1 j  n).

|A| = = (3 + 1 + 0) – (1 – 1 + 0) = 4 0. Поэтому А^-1 обратима.

Вычисляем алгебраические дополнения элементов данной матрицы, не забывая о их знаках:

A₁₁ = (-1)¹⁺¹·=4, A₁₂ = (-1)¹⁺² ·=1, A₁₃ = (-1)¹⁺³ ·=1,

A₂₁ = (-1)²⁺¹ ·=– 4, A₂₂ = (-1)²⁺² ·=2, A₂₃ = (-1)²⁺³ ·=–2,

A₃₁ = (-1)³⁺¹ ·=0, A₃₂ = (-1)³⁺² ·=1, A₃₃ = (-1)³⁺³ ·=1.

А^-1 = ===.

Проверка: А · А^-1 = · = .

Ответ: А^-1 = .