Деление с остатком в кольце f[X]

Теорема 5.2 (о делении с остатком многочленов над полем).

f(x), (x)F[x], (x)  0, q(x),r(x)F [x] : (1) f(x) = (x) q(x)+ r(x), причем deg(r(x)) < deg((х))илиr(x) = 0.

Замечание. Равенство (1) называется равенством деления с остатком,f(x) называют делимым, (x) – делителем,q(x) – неполным частным,r(x) – остатком.

Следствие 5.3 (о делении на двучлен). Любой многочлен f(x)F[x] однозначно делится с остатком на двучлен x – а, где а F :

f(x) = (x – а) q(x) + r, где r  F.

Определение 5.4. ЭлементаFназываюткорнем многочленаf(x), еслиf(а) = 0.

Следствие 5.4. f(а) = 0 f(x)(х – а).

Доказательство.

Необходимость. Пусть f(а) = 0. Докажем, чтоf(x) делится на (х – а). Разделимf(x) на (х – а) с остатком, получим) f(x) = (x - а) q(x) + r, та какf(a) = 0 по условию, то 0 = 0 +r, Следовательно,r= 0, т.е.f(x) (x - а).

Достаточность. Пусть f(x) (x - а), докажем, чтоf(а) = 0. Разделим f(x) на (x - а), получим:f(x) = (x - а) q(x) + 0, подставима, получим:

f(а) = (а - а) q(а) + 0f(а) = 0.

Замечание. Еслиf(x) делится на (х – а)^k , ноf(x) не делится на (х – а)^k+1, тогдааназываюткорнем кратностиk.

Следствие 5.5 (теорема Безу) Остаток r от деления многочленаf(x)F[x] на двучлен(х – а), (аF)равен значению многочлена в точке а,т.е.r = f(а)F.

Доказательство.

Действительно: f(x) = (x – а) q(x) + r, тогдаf(а) =r.

Схема Горнера и её применения

Существует алгоритм деления многочлена f(x) на (x – a), который называется схемой Горнера.

Пусть f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁ x + a₀ , deg f(x) = n, a_n 0. Разделимf(x) на (x – a), получим: (*)f(x) = (x – а) q(x) + r, где r  F, deg q(x) =n – 1.

Запишем q(x) = b_n-1 x^n-1 + b_n-2 x^n-2 + … + b₁ x + b₀. Тогда подставив в равенство (*) вместоf(x) иq(x) их выражения, получим:

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁ x + a₀ = (х – а) (b_n-1 x^n-1 + b_n-2 x^n-2 + … + b₁ x + b₀) + r

Так как многочлены равны, то и коэффициенты при соответствующих степенях должны быть равны.

r – ab₀ = a₀ r = a₀ + ab₀

b₀ – ab₁ = a₁ b₀ = a₁ + ab₁

…………….. ……………

b_n-1 = a_n a_n = a_n-1

Вычисление коэффициентов многочлена q(x) удобнее осуществлять с помощью таблицы (схемы Горнера).

a

С помощью схемы Горнера можно решать такие типы задач:

1. Найти q(x)иrпри деленииf(x) на (х – а);

2. Вычислить значение многочлена f(x) приx = a;

3. Выяснить, будет ли х = акорнем многочленаf(x),аF;

4. Определить кратность корня;

5. Разложить многочлен по степеням (х – а).

6. Вычислить значение многочлена f(x) и всех его производных прих = а.

Пример. Пустьf(x) =x⁵– 15x⁴+ 76x³– 140x²+ 75x– 125 иа = 5.

Составим схему Горнера:

1. Вычислим неполное частное q(x) и остатокrпри деленииf(x) на (х – 5). Во второй строке таблицы видим, что коэффициенты частногоq(x) равны: 1, – 10, 26, – 10, 25, поэтомуq(x) = 1х⁴ – 10х³ + 26х² – 10х + 25, а остатокrравен 0.

2. Вычислим значение многочлена f(x) приx = 5. Воспользуемся теоремой Безу:f(5) =r= 0.

3. Выясним, будет ли х = 5 корнем многочленаf(x). По определениюа– кореньf(x), еслиf(а) = 0. Так какf(5) =r= 0, то 5 – кореньf(x).

4. Из второй, третьей и четвертой строк таблицы мы видим, что f(x) делится на (х – 5)³, ноf(x) не делится на (х – 5)⁴. Следовательно, число корень 5 имеет кратность 3.

5. Разложим многочлен f(x) по степеням (х – 5), коэффициенты разложения с₀, с₁, с₂, с₃, с₄, с₅получаются в последних клетках второй, третьей, четвертой, пятой, шестой и седьмой строки схемы Горнера:

f (x) = с₀+ с₁(х –5)+ с₂(х – 5)²+ с₃(х – 5)³+ с₄(х – 5)⁴+ с₅(х – 5)⁵или

f (x) = 26 (х – 5)³+ 10 (х – 5)⁴+ (х – 5)⁵.

6. Вычислим значение многочлена f(x) и всех его производных прих = 5.

с₀=f(5) = 0, с₁=f ′(5) = 0, с₂== 0f ′′(5) = 0,

с₃== 26f ^′′′(5) = 26 ∙ 3! = 156, с₄== 10f ′ ^v(5) = 10 ∙ 4! = 240,

с₅== 1f ^v(5) = 1 ∙ 5! = 120.

МЕТОДИКА 15. «Логарифмическая функция».

1. Логико – математический анализ темы.

Данная тема изучается в 10 классе.

Основные понятия:

Функцию, заданную формулой у=log_ах, где а>0, а≠0 называют логарифмической функцией с основанием а.

Термин – логарифмическая функция.

Род – функция.

Видовые отличия: 1) а>0, а≠0; 2) функция задана формулой у=log_ах.

Основные предложения:

Свойства логарифмической функции.

1°. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R₊, т.е.D(log)=R₊.

2°. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3°. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

Справедливо следующее утверждение: графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у=х.

Основные идеи и методы изучения:

Определения понятий явные, через ближайший род и видовые отличия – конструктивные.

Методы доказательства:

Дедуктивные (на основе определения) с использованием математических методов: логарифмирование степени, основные свойства степени, метод от противного.

Например, свойство о том, что при а>1 функция возрастает, доказывается с помощью определения возрастающей функции, при этом применяется метод от противного.

1. Основные типы математических задач по теме

- найти область определения функции;

- построить график функции;

- найти область значения функции;

- найти промежутки знакопостоянства функции;

- исследовать функцию и построить ее график;

- найти наибольшее и наименьшее значение функции;

- найти значение выражения.

Типичные ошибки и затруднения изучения темы

Математические ошибки:

• вычислительные ошибки: при решении уравнений и неравенств, при нахождении значений функции, при действиях со степенями;

• логические ошибки: в выполнении тождественных преобразований, в использовании свойств логарифмов, при определении понятий, при выводе формул;

• графические ошибки: при построении графиков функций (не учитывают свойства функций); неправильно применяют преобразование графиков.

3. методы и приемы работы учащихся с учебником математики в соответствии с возрастными особенностями учащихся.

В 5-6 классах используют следующие методы работы с учебником:

1. чтение правил, определений, формулировок теорем учащимися после объяснения учителя

2. чтение вслух учителя ученикам с выделением главного и существенного

3. работа с формулами и иллюстрациями на обложке учебника

4. чтение учебника учащимися и ответы на вопросы учителя

В 7-8 классах добавляются следующие методы работы с учебником:

1. чтение текстов после их объяснения учителем

2. чтение текста учащимися и разбивка его на смысловые абзацы

3. чтение текста из учебника учащимися и запись основных предложений темы по плану, предложенному учителем

В 9 – 11 классах ко всему предложенному добавляется:

1. разбор примеров учащимися в учебнике, после объяснения темы учителем

2. чтение текста учащимися и запись опорного конспекта по данному тексту

3. чтение текста учебника и самостоятельное составление учащимися плана по данному тексту.

4. чтение текста учебника и ответ учащегося по самостоятельно составленному плану

2. Фрагмент урока изучения новой темы: «Логарифмическая функция».

Цели урока:

Обучающие: обеспечить в ходе урока усвоения понятия логарифмическая функция, формировать умения определять свойства логарифмических функций, формировать умение изображать графики логарифмической функции.

Развивающие: способствовать развитию мышления, восприятия, памяти, воображению, внимания.

Воспитательные: воспитывать устойчивый интерес к математике, воспитывать отдельные качества личности: аккуратность, настойчивость, трудолюбие.

Тип урока: изучение нового материала

Структура урока:

1.организационный момент; 2. постановка целей урока; 3.проверка домашнего задания; 4. подготовка к изучению нового материала; 5. изучение нового материала; 6.первичное закрепление и осмысление нового материала; 7.постановка домашнего задания; 8.подведение итогов урока.;

Билет № 16. Многочлены с рациональными коэффициентами