Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек и . Нам требуется найти координаты и точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , где - некоторое положительное действительное число.

Поясним смысл фразы: «точка С делит отрезок АВ в отношении ». Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно (то есть, выполняется равенство ). Обратите внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В – его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении , то будет выполняться равенство . Очевидно, что при точка С является серединой отрезка АВ.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и . Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении .

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому, и . Найдем координаты вектора , которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении .

В силу операции сложения векторов можно записать равенства и . Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то , откуда . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что , поэтому, по определению операции умножения вектора на числосправедливо равенство . Подставив в него , имеем . Тогда равенство можно переписать как , откуда в силу свойств операций над векторами получаем .

Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами  и  в координатах. Так как и , то , следовательно, .

Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , находятся по формулам и .