2.6 Изменение концентраций по длине реактора.

Пусть r[0,1]-продольная координата. Вдоль этой координаты происходит диффузия химических веществXиY, D_x иD_y. - коэффициенты диффузии.

Если зафиксировать начальные концентрации X(r, 0), Y(r, 0)и увеличивать B при A = const, то, начиная с некоторого критического значения B_кр, система выходит на немонотонные стационарные распределения концентраций. В среде возникают структуры. Одни реагенты могут оказаться сосредоточенными в одних частях реактора, другие – в других.

7. Возникновение пространственной структуры.

Пример:

Решения этих уравнений в частных производных имеют вид:

x(r,t) = x₀ e^t sin(nr) Эти решения дают не только установившиеся

y(r,t) = y₀ e^t sin(nr) состояния, но и периодические по времени соб-

ственные функции.

Система имеет изменяющуюся по периодическому закону пространственную структуру.

Пространственные и временные структуры могут спонтанно возникать из-за неустойчивости основной термодинамической ветви.

Мы умеем предсказывать величину B_кр , начиная с которой будут возникать структуры. Ответим на вопрос, почему приB < B_кр структуры не возникают.

Отклонения от термодинамической ветви в области B < B_кр настолько малы, что нелинейные члены уравнения гораздо меньше линейных. Решения полного уравнения близки к решению уравнения линейного приближения. Для линейного приближения справедливпринцип суперпозиции. Общее решение можно «сшить» из частных. Если для всех_iимеет местоRe_i < 0, то каждое частное решение убывает и отклонение от термодинамической ветви также убывает.

7. Бифуркация Тьюринга.

k-волновое число. Оно связано с длиной l_n стоячей волныn-й гармоники: n- целое число полуволн на длине L.

Если в интервале[k²_min ;k²_max]_xили [k²_min ; k²_max]y попадает одно из разрешенных граничнымиусловиями значенийk²_x ; k²_y, то амплитуда соответствующей моды (синусоиды) начинает расти во времени (неустойчивость Тьюринга – бифуркация Тьюринга).

После перехода в новый режим система может повести себя по-разному. Она может реагировать на новые аттракторы, устанавливающие в системе новый порядок, вынуждая ее находиться в состоянии флуктуации между определенными дискретными значениями, присущими новому режиму (бифуркация Тьюринга). В другом варианте система может совершать нерегулярные флуктуации среди многочисленных значений, не отдавая предпочтения ни единичному значению, ни какой-нибудь группе значений (бифуркация Хопфа). Наконец, бифуркация может быть просто переходной стадией на пути системы в новую область устойчивости. В этом случае бифуркация представляет для системы своего рода «окно» в устойчивый динамический режим.

Выводы

1. Такое явление имеет место только в распределенных (пространственно неоднородных системах) системах.

2. Пространственный период предопределен величиной k²_n, который зависит от A, B, L, но не от начальных условий.

3. Учет нелинейных членов уравнения вблизи точки бифуркации Тбюринга приводит к стабилизации структуры. Структура сохраняет плавную (гармоническую форму), имеет определенную амплитуду, которая зависит от A, B, L.

4. В системе есть только один аттрактор (одно устойчивое состояние равновесия), свойства которого предопределены выбором A, B, L, но не начальными условиями.

Выбор в системе диссипативной структуры за счет начальных условий или случайно невозможен. Структура одна.

5. Область применения диссипативных гармонических структур ограничена. При D_y  D₁ образуются так называемые контрастные структуры которые называют диссипативными по характеру процесса. Способы их описания иные.

3. Диссипативные системы

Диссипативная система (или диссипативная структура, от лат. dissipatio — «рассеиваю, разрушаю») — это открытая система, которая оперирует вдали от термодинамического равновесия. Иными словами, это устойчивое состояние, возникающее в неравновесной среде при условии диссипации (рассеивания) энергии, которая поступает извне. Диссипативная система иногда называется ещё стационарной открытой системой или неравновесной открытой системой.

1. Макроскопические переменные.

Диссипативные системы представляют собой весьма широкий и важный класс естественных систем. Макроскопические переменные используются при попыткепри попытке макроскопического описания последних, когда для определения мгновенного состояния систем используются коллективные переменные (температура, концентрация, давление, конвективная скорость и др). При рассмотрении уравнений, управляющих поведением этих переменных, выясняется их важная особенность: уравнения не инвариантны относительно операции обращения времени.

2. Необратимость.

При рассмотрении уравнений, управляющих поведением этих переменных, выясняется их важная особенность: уравнения не инвариантны относительно операции обращения времени. Если в уравнении x_i/t = F_i(x₁, x₂, .., x_n, r, t, ..) совершить операцию обращения времени t* = - t, то по меньшей мере одна из функций Fi, соответствующая четной переменной xi, должна будет содержать инвариантную часть, в то время как функция Fi,, соответствующая нечетной переменной xi, должна будет содержать часть, меняющую знак при обращении времени.

3. Второй закон термодинамики и его следствия.

Второе существенное различие между консервативными и диссипативными системами связано со вторым законом термодинамикии его многочисленными следствиями.

Фазовое пространство диссипативных систем включает ансамбль имеющихся переменных. В случае непрерывной среды- это бесконечномерное пространство, в котором различные характеристики системы являются пространственно распределенными величинами. Удобнее всего работать с фазовым пространством, когда оно содержит дискретное число переменных и когдаэто число конечно и невелико.

4. Связь между консервативными и диссипативными системами.

Особо стоит вопрос о связи между консервативными и диссипативными системами, а также вопрос о возможности перехода от одного описания к другому.

Ярче всего различие между консервативными и диссипативными системами проявляется при попытке макроскопического описания последних, когда для определения мгновенного состояния системы используются такие коллективные переменные, как температура, концентрация, давление, конвективная скорость и т. д. При рассмотрении уравнений, управляющих поведением этих переменных, выясняется следующая их важная особенность: они не инвариантны относительно операции обращения времени в отличие от уравнений в консервативных системах .

5. Макроскопические переходы. Крупномасштабные корреляции. Возникновения макроструктур.

Пространственные масштабы после становятся макроскопическими, сравнимыми с масштабами самой системы. В системекроме пространственных структурмогут возникать и длительно существовать разнообразные явления, зависящие от времени и также проявляющиеся в макроскопических масштабах.

Организующим фактором при макропереходах являются уже не фазовые переходы и равновесия, а, напротив, неравновесность системы, переход которой к равновесию уже не может происходить только за счет межмолекулярных взаимодействий.В условиях неравновесности система приобретает макроструктуру. В ней выделяются части, содержащие громадное число молекул, возникают новые явления, обусловленные состоянием вещества ихарактеризуемые крупномасштабными корреляциями. Возникающее при макроскопическом переходе сложное поведение можно рассматриватькак фазовый переход нового типа (неравновесный фазовый переход), в результате которого в системе создаются и усиливаются особые неравновесные условия. Эти условия проявляются в нарушениях симметрии. Системы в неравновесном состоянии способны осуществлятьбифуркационные переходык новым состояниям, и эта их способность делаетнеравновесное состояние непохожим на любое состояние равновесия.

Если система находится в равновесии, то она будет пребывать в нем сколь угодно долго, а характеристики системы при этом будут сохранять свои значения неизменными во времени.

6. Равновесия при неравновесных ограничениях.

Неравновесные ограничения. В неравновесных состояниях в системе имеются неисчезающие потоки, ориентированные от системы в среду и из среды в систему, и различия в значениях некоторых переменных x_i и x_ei.

Эти различия могут иметь переходный характер - они могут мгновенно возникать благодаря некоторому начальному условию и постепенно релаксировать по мере установления равновесия между системой и внешней средой.

Эти различия могут быть постоянными, если создать и поддерживать соответствующие условия (ограничения). Вследствие постоянного или временного действия ограничений в неравновесном состоянии детального равновесия уже нет.

Режим неравновесного состояния характеризуется способностью к изменениям - небольшие локальные отклонения от него не обязательно компенсируются постоянно возникающим противодействием (типичным для режима детального равновесия).

Эти малые отклонения могут быть усвоены или даже усилены системой, становясь тем самым причиной и источником новообразований и разнообразия.

7. Бифуркации.

Системы в неравновесном состоянии способны осуществлять бифуркационные переходы к новым состояниям, и эта их способность делает неравновесное состояние непохожим на любое состояние равновесия.

Если система находится в равновесии, то она будет пребывать в нем сколь угодно долго, а характеристики системы при этом будут сохранять свои значения неизменными во времени.

Лекция 5. Странные аттракторы. Динамический хаос

1. Узел, фокус, предельный цикл – математические образы установившихся режимов.