7.2.8. Норма и скалярное произведение

Если при построении пространств есть такие важные свойства множества вещественных чисел как наличие расстояния и наличие алгебраических операций, то можно прийти к определению нормированных пространств.

Определение 15. Линейное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x этого множества поставлено в соответствие вещественное число - норма этого элемента, удовлетворяющая трем аксиомам:

1. , норма любого элемента x не отрицательна, причем тогда и только тогда, когда x=0;

2. ,

3. – неравенство треугольника.

Норма представляет собой обобщение абсолютной величины числа или длины вектора и играет такую же роль в абстрактных пространствах. Легко проверить, что нормированное пространство будет также метрическим. Для этого достаточно положить . Если расстояние определено по этой формуле, то говорят, что оно согласовано с нормой.

Расстояние, определяемое этой формулой, будет удовлетворять еще двум свойствам:

- однородность расстояния;

- транзитивность.

Можно показать, что если расстояние какого-либо метрического пространства обладает однородностью и транзитивностью, то такое метрическое пространство можно сделать нормированным.

Примерами метрических пространств, расстояние которых обладает однородностью и транзитивностью, являются следующие пространства:

1. , , ;

2. , , ;

3. , ;

4. , , ;

5. , , ;

6. m, , .

Рассмотрим примеры линейных нормированных пространств.

1. Множество вещественных чисел является нормированным пространством, если за норму в нем взять абсолютную величину чисел, а также линейное пространство n-мерных векторов с нормой

.

2. Линейное пространство всех ограниченных вещественных функций, определенных на отрезке , превращается в нормированное, если в нем ввести норму по формуле . Его нормированное подпространство непрерывных на функций обозначается .

3. В линейном пространстве положим

.

4. В линейном пространстве положим

.

Определение 16. Скалярное произведение элементов x и y вещественного линейного пространства X определяется как функция , принимающая вещественные значения и удовлетворяющая условиям:

1. , ;

2. ;

3. ;

4. .

В случае комплексного пространства вводятся небольшие видоизменения. Во-первых, произведение может принимать комплексные значения. Во-вторых, аксиома заменяется более общим требованием , где звездочка обозначает комплексное сопряжение.

Скалярное произведение позволяет ввести в X норму

и в итоге – метрику

.

Скалярное произведение есть в следующих пространствах:

1. . Если , , то

.

2. . ,

3. ,

.

В других пространствах нельзя ввести норму, согласованную со скалярным произведением.

Теорема 10 (тождество параллелограмма). Пусть L – нормированное пространство. На L можно ввести скалярное произведение, согласованное с нормой тогда и только тогда, когда в L выполнено тождество параллелограмма:

.