18. Прямые в r2. Различные виды уравнений прямой в r2
В декартовой системе координат прямая представлена уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение первой степени Ах+Ву+С = 0 представляет некоторую прямую. Различные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, каноническое и т.п.) являются частными случаями этого общего уравнения. Построим уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0) параллельно направляющему вектору . Возьмем любую точкуN (х,у), лежащую на заданной прямой. Вектор всегда будет параллелен вектору. Условие параллельности векторов=(х-х0; у-у0) и , дает каноническое уравнение прямой линии на плоскости:. (1) Введем вектор, перпендикулярный искомой прямой. Тогда из условия перпендикулярности векторовиможно записать. В результате получаем уравнение:А(х-х0)+В(у-у0)=0 или Ах+Ву+С=0, (2) где С=–Ах0–Ву0.
|
| |
|
|
|
Уравнение (2) называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор называется нормалью.Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Q(2, –3) параллельно оси Оу.
Решение. В качестве направляющего вектора можно взять вектор. Подставив данные в уравнении (1), получим:. Это каноническое уравнение обычно переписывают в общем виде:х–2=0 или х = 2. При общее уравнение прямой (2) можно переписать в виде:у=k x +b, (3) где . Уравнение (3) называется уравнением с угловым коэффициентом; угловой коэффициентk = tg α, где α – угол наклона прямой к оси Ох. При k=0 ( α= 0)уравнение (3) дает прямую, параллельную оси Ох. Из уравнения (3) нельзя получить уравнение прямой, параллельной оси Оу. Поэтому все семейство наклонных прямых (3) дополняется прямыми: х=а, (4) параллельными оси Оу. Уравнение (4) получено из уравнения (2) при В=0, где .
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
|
| Пусть даны точки М0(х0, у0) и М1(х1, у1). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Для решения задачи воспользуемся уравнением (1). В качестве направляющего векторавоспользуемся вектором:. |
Подставим l =x 1– x0 и m= y1 –y0 в каноническое уравнение (1), получим уравнение прямой, проходящей через две точки: . (5)Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении Пусть дана точка М0(х0, у0). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку М0 в заданном направлении. Задачу будем решать в зависимости от того, как определено направление прямой. Если направление задается вектором , то такая прямая описывается уравнением (1). Если задан угловой коэффициентk= k1, то уравнение прямой будет находить в форме (3): y =k1 x+ b. Неизвестный коэффициент b найдем из условия y0 = k 1 x0 + b (точка М0 принадлежит прямой). Найденное b= y0 – k 1 x0 подставим в уравнение y =k1 x+ b. Искомое уравнение прямой запишем в виде: y– y 0= k1 ( x– x 0). (6) Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Q(2,7) параллельно прямой 2х-4у+3=0. Решение. Найдем угловой коэффициент прямой 2 х–4у +3=0: . Для искомой прямой угловой коэффициент будет таким же, так как прямые параллельны. Подставим данные в уравнение (6):.
- 2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам произвольного ряда.
- 3. Матрицы и их свойства. Ранг матрицы.
- 4. Операции над матрицами, обратная матрица.
- 5. Решение и исследование систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
- 6. Решение системы линейчатых неоднородных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.
- 7. Метод Гаусса решения систем линейных неоднородных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- Доказательство (условия совместности системы)
- 9. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- 10. Линейные операции над векторами и их основные свойства. Линейные операции над векторами Сложение векторов
- Вычитание векторов
- Умножение вектора на число
- Свойства линейных операций над векторами
- Линейные комбинации векторов
- 11. Теоремы о проекциях векторов. Условие коллинеарности векторов.
- Условия коллинеарности векторов
- 12. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса.
- Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
- Пример.
- 13. Скалярное произведение векторов. Признак ортогональности векторов.
- 14. Расстояние между двумя точками пространства r3 . Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками в пространстве, формула.
- Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
- 15. Векторное произведение векторов.
- 16. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- 17. Метод координат и основные задачи аналитической геометрии.
- 18. Прямые в r2. Различные виды уравнений прямой в r2
- 19. Нормированное уравнение прямой.
- 20. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вычисление угла между прямыми в r2.
- 21. Расстояние от точки до прямой в r2.
- 22. Линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.
- 23. Каноническое уравнение эллипса.
- 24. Каноническое уравнение гиперболы.
- 25. Каноническое уравнение параболы.
- 26. Преобразование уравнений линий второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос системы координат.
- 28. Параметрическая форма задания уравнения линий в трехмерном пространстве.
- 29. Плоскость в трехмерном пространстве. Различные виды уравнений плоскости.
- 30. Нормированное уравнение плоскости
- 31. Расстояние от точки до плоскости.
- 32. Расстояние между двумя параллельными прямыми.
- 33. Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой.
- 34. Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- 35. Расстояние между перекрещивающимися прямыми в пространстве.
- Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
- 36. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды и гиперболоиды.
- 37. Параболоиды. Уравнения цилиндрических и конических поверхностей.
- 38. Сферическая система координат.