§ 1. Общие положения.
Мы рассмотрим только некоторые из типов уравнений, неразрешённых относительно производной , причём имеющие специальную (легко распознаваемую) форму записи и стандартные алгоритмы решения. К таким уравнениям отнесём:
• многочлены - ой степени относительно символа;
• специальные формы записи уравнения , поддающиеся решению.
Для решения уравнения , не разрешённого относительно производной, в самом общем случае, можно было бы назватьметод параметрического решенияуравнения. Суть метода такова. Предположим, чтоудалосьнайти параметрическое представление переменных уравнения:,,, (1)
причем функции (1) обращают уравнение в тождество, то есть представляют решение этого уравнения.
Применение функций (1) сводит задачу к интегрированию уравнения разрешенного относительно производной. Действительно, воспользовавшись соотношением:, получим:
(2)
или . (3)
Предположим, что уравнение (3), имеющее нормальную форму записи, удалось решить, то есть найдено общее решение: (4)
В таком случае можем считать, что получено общее решениеуравнениявпараметрической форме:,. (5)
Если уравнение (3) имеет особое решение: , (6)
то функции ,(7)
могут определять особое решение уравнения . Определение особого решения, а также способы его нахождения в некоторых частных случаях рассмотрены в Главе 8.
Замечание: решение уравненияв параметрической форме предполагает значительные импровизации: общих схем нет; трудности интегрирования уравнения(3)такие же, как и в случае интегрирования уравнения:.
Рассмотрим некоторые частные случаи записи уравнения и способы решения уравнений для каждого предлагаемого случая (с применением общих схем).
- Глава 5. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
- § 1. Общие положения.
- § 2. Уравнения 1-го порядка: многочлен - ой степени относительно символа .
- § 3. Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее X.
- § 4. Уравнение, разрешенное относительно X и не содержащее y.
- § 5. Уравнение, не разрешенное относительно y и не содержащее X.
- § 6. Уравнение, не разрешенное относительно X и не содержащее y.
- § 7. Уравнение Лагранжа.
- § 7. Применение уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной: задачи из геометрии
- § 8. Применение уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной: задачи из физики