2) Комплексное число как пара вещественных чисел. Основные свойства пар. Обоснование свойств комплексных чисел.

К омплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

В ещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида  (x,0) , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением ввенных чисел. Ноль представляется парой 

е диница –

а  мнимая единица –

  На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен  , то есть − 1.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные сотношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно