7.1.1. Основные понятия

Пусть даны два множества D и G, элементами которых являются комплексные числа. Числа z=x+iy множества D будем изображать точками комплексной плоскости z, а числа w=u+iv множества G – точками плоскости w.

Определение 1. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G (рис. 7.1.1):

w=

Рис. 7.1.1

Множество D называется областью определения функции w= , множество G – областью значений функции. Далее, как правило, будем рассматривать такие функции w= , для которых множества D и G являются областями.

Определение 2. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Если , , то комплексную функцию можно записать в виде:

,

где

действительная часть ,

– мнимая часть ,

u, v – действительные функции от переменных х и у.

Если каждому соответствует несколько различных значений w, то функция w= называется многозначной.

Пример 1. Найти действительную и мнимую части функции .

Решение:

,

т.е.

, .

Пример 2. Найти действительную и мнимую части функции .

Решение. Функцию можно записать в виде , т.е.

Отсюда следует: ,