22. Линейные и нелинейные полиномы Жегалкина, разложение булевых функций в полином Жегалкина методом неопределенных коэффициентов.

Определение. Функцияотnаргументовназывается булевой функцией (или функцией алгебры логики), если каждому наборуона ставит в соответствие число.

Для задания булевых функциймы будем использовать таблицы, векторы, формулы и графики. Примем следующее обозначение:– это множество всех набо­ров, где.

Определение.Полиномом Жегалкина от переменныхназывается сумма по модулю 2, в которой каждое слагаемое является константой 0 или 1 либо одной из переменных, либо логическим произведением (конъюнкцией) нескольких различных переменных.

Определение.Полином, в котором отсутствуют произведения переменных, называется линейным полиномом. Линейный полином Жегалкина отnпеременных может иметь самое большееn + 1 слагаемых.

Теорема. Каждая булева функция от n переменных представима полиномом Жегалкина от этих же переменных.

Разложение методом неопределенных коэффициентов. Полином Жегалкина от двух аргументов х₁и х₂содержит не более 4 слагаемых и может быть записан в общем виде, где коэффициенты– константы 0 или 1.

Пример.Пусть требуется построить полином Жегалкина для функции. В общем виде его можно записать с неопределенными коэффициентами следующим образом:.

Так как х₂– фиктивная переменная данной функции, то в её полином Жегалкина переменная х₂в явном виде не входит, значит,. Оставшиеся четыре коэффициента найдем из системы уравнений.

Получаем . Таким образом, заданная функция представима полиномом Жегалкина, который не относится к числу линейных полиномов.