7.2.4. Полнота и пополнение метрических пространств

Определение 6. Последовательность точек метрического пространства X называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если при . Это означает, что для любого числа найдется номер , такой, что при .

Иными словами, у последовательности Коши члены с большими номерами не могут сильно отличаться друг от друга, и .

Фундаментальные последовательности также называют сходящимися в себе.

На вещественной прямой работает

Критерий Коши: последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

В произвольном метрическом пространстве это уже не так. Принципиальную роль играет полнота X.

Теорема 4. Если последовательность сходится к пределу , то она фундаментальна.

Доказательство. В самом деле, пусть . Тогда найдется номер такой, что при . Следовательно,

для .

Обратное утверждение для произвольного метрического пространства неверно, так как существуют метрические пространства, в которых имеются фундаментальные последовательности, не сходящиеся ни к какому пределу.

Пример 1. Пусть X – множество рациональных чисел, причем расстояние определяется по формуле . Тогда X есть метрическое пространство.

Возьмем последовательность , ,…, ,… Эта последовательность сходится фундаментально и к пределу .

Возьмем теперь последовательность . Эта последовательность сходится фундаментально, но не имеет предела в пространстве X, так как не является рациональным числом.

Определение 7. Метрическое пространство X называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится.

Вернемся к рассмотренным ранее метрическим пространствам

1. Пространство с метрикой полное, так как в этом пространстве фундаментальны только стационарные последовательности, т.е. такие, что начиная с некоторого номера повторяется все время одна и та же точка. Всякая такая последовательность, естественно, сходится.

2. Пространство . Сходимость точек этого пространства равносильна сходимости по координатам. Таким образом, из сходимости

которую мы предполагаем данной, следует сходимость

Так как предел каждой сходящейся последовательности координат (как последовательности действительных чисел) является числом действительным, то точка , а это и означает полноту пространства .

3. Пространство . Как следует из определения расстояния в пространстве , сходимость последовательности точек этого пространства сводится к равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пределом такой последовательности является непрерывная функция, то есть элемент того же пространства .

4. Пространство . Для доказательства полноты пространства будем считать, что некоторая последовательность точек фундаментальна и докажем, что она сходится, т. е. что в пространстве существует точка , для которой . Возьмем произвольное . Так как данная последовательность является фундаментальной, то для этого найдется такое число N, что для всех k, l > N расстояние , т.е.

(7.2.1)

отсюда для любого i и любых k, l > N ,

Следовательно, последовательности фундаментальны, каждая из них сходится к действительным пределам. Обозначим и рассмотрим последовательность . Докажем, что эта последовательность является элементом пространства .

Из (7.2.1) следует, что , откуда при любом m. Пусть в последнем неравенстве .

Тогда в пределе получим: при любом m, следовательно,

.

Отсюда и из сходимости ряда следует сходимость ряда , что и доказывает принадлежность последовательности к пространству .

Полнота пространства следует из доказанного как частный случай.

5. Пространство m полно. Пусть - фундаментальная последовательность элементов пространства m. Это значит, что для любого существует такое N, что для всех n, m > N выполняется неравенство .

Так как

,

то

(7.2.2)

для любого i. Отсюда следует, что последовательность действительных чисел фундаментальна, то есть существует предел .

Заставив n стремиться к бесконечности в неравенстве (7.2.2), получим , откуда . Следовательно, , т.е. последовательность ограничена и, значит, она принадлежит пространству m.

6. Рассмотрим метрическое пространство функций, определенных и ограниченных на множестве E, расстояние между которыми задается формулой

.

В этом пространстве последовательность функций является фундаментальной, если для любого числа существует такой номер , что для всех номеров и выполняется неравенство

,

т.е. последовательность удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости последовательности на множестве E. В силу этого критерия последовательность равномерно на множестве E сходится к некоторой функции , т.е.

(7.2.3)

Покажем, что эта функция также ограничена и, следовательно, принадлежит рассматриваемому пространству. Действительно, в силу (7.2.3) для любого числа , в частности для , существует такой номер , что

для всех , поэтому .

Так как функция ограничена, то ограничена и функция . Т.е. мы доказали, что рассматриваемое пространство является полным.

Приведем примеры неполных пространств.

1. Рассмотрим множество , непрерывных функций , в котором расстояние определяется формулой

.

Это пространство будет неполным. Действительно, легко проверить, что последовательность arctg , предел же этой последовательности , так как он является разрывной функцией:

2. Рассмотрим множество дифференцируемых функций , расстояние в котором определяется формулой

.

Это пространство также будет неполным. Присоединяя к множеству множество непрерывных функций, мы получим полное пространство.

Замечание. Заметим, что в метрических пространствах полнота может быть обеспечена также изменением метрики. Так, например, для обеспечения полноты пространства определим формулу расстояния следующим образом:

.

Определение 8. Множество M называется ограниченным, если все его элементы могут быть заключены сферу радиуса r с центром в точке a, т.е. если существует такая точка a и радиус r, что для любого .

Теорема 5. Фундаментальные последовательности ограничены.