1.1 Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы. 2 Предопределенность поведения на этих траекториях при начальных условиях, заданных с погрешностю.

Аттракторы вида узел, фокус и предельный цикл являются математическими образами установившихся режимов в динамических системах.

Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы.

Это свойство позволяет предсказывать поведение таких систем, даже если начальные условия x₀ известны с некоторой погрешностью.

2. Существование и единственность решений на конечном интервале времени.– условие ляпуновской теории устойчивости решений..

В корректных задачах теоремы существования и единственности решений выполняются на конечном интервале 0 tT. Необходимо, чтобы существовала некоторая величина, которая гарантировала бы близость траекторий при 0t. Этоусловиефигурируетв ляпуновской теории устойчивости решений.

2. Как изменяется со временем расстояние между двумя близкими точками на траектории, принадлежащей аттрактору: узел или фокус, предельный цикл?

Две близкие точки x10 и x20 , лежащие на аттракторе, отстоят одна от другой на расстояние d0. Со временем это расстояние меняется dt = | x1t – x2t |.

Если аттрактор – особая точка, то dt = 0. (узел или фокус)

Если аттрактор – предельный цикл, то dt – периодическая функция времени.

Если аттрактор – странный, то dt = et,> 0.

2. Когда величина собственного числа  характеризует аттрактор?

Чтобы величина  характеризовала аттрактор, надо рассматривать бесконечно близкие траектории и среднюю скорость их разбегания на большом интервале времени.

( x₁₀,  ) = lim lim [(1/t) ln (d_t/d₀)], . (3)

t, d₀0

 - вектор от x₁₀ до x₂₀

Выбирая различные точки х₁₀ и x₂₀ , можно получать разные числа .

В 1968 г. В. Оселедец показал, что при весьма общих условиях почти все точки х₁₀ и x₂₀ в окрестности странного аттрактора в N-мерной динамической системе будут давать один и тот же набор ляпуновских показателей ₁, ₂,… _N.

 - характеризует изменение длины отрезка d_t.= |x_1t – x_2t |.

Изменение площади треугольника с вершинами х_1t, х_2t, х_3t пропорционально

exp (₁ + ₂)t.

₁ - характеризует изменение длины d₁.= |x_1t – x_2t |,

₂ - изменение длины d₂.= |x_2t – x_3t|.

Изменение N-мерного объема пропорционально

exp (₁ + ₂ + _N)t.

N-мерный объем малого элемента в фазовом пространстве N-мерной диссипативной системы для аттракторов сокращается

_i < 0.

1  i N