22. Линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.

Это плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

         a₁₁x² + a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₁₁ = 0. (*)

         Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,

         нераспадающиеся линии:

         y² = 2px — параболы,

         распадающиеся линии:

         — пары пересекающихся прямых,

         — пары мнимых пересекающихся прямых,

         x² - а² = 0 — пары параллельных прямых,

         x² + а² = 0 — пары мнимых параллельных прямых,

         x² = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.

         Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. — выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:

         S = a₁₁ + a₂₂, (a_ij = a_ji).

         Так, например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них Δ ≠ 0; положительное значение инварианта δ выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол δ < 0, для парабол δ = 0). Различить случаи действительного или мнимого эллипсов позволяет сопоставление знаков инвариантов Δ и S: если Δ и S разных знаков, эллипс действительный; эллипс мнимый, если Δ и S одного знака.

         Три основные инварианта Δ, δ и S определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения (См. Движение) евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты Δ, δ и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности

|CM| = R.       (1)

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.

Так как | СМ | = √(x — a)² + (у — b)², то уравнение (1) можно записать так:

√(x — a)² + (у — b)² = R

или

(x — a)² + (у — b)² = R²      (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение

(x — l)² + (y + 3)² = 25

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

x ² + у ² = R². (3)

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.