Контрольные вопросы и задания для самопроверки

1. Дать определение функции комплексного переменного (однозначной, многозначной)

2. Могут ли у двух различных функций комплексного переменного быть

а) различные действительные части и одинаковые мнимые части;

б) одинаковые действительные части и различные мнимые части;

в) одинаковые действительные части и одинаковые мнимые части;

г) различные действительные части и различные мнимые части;

3. Верно ли, что при любом ?

4. Существуют ли такие точки , что ?

5. Верно ли, что функция не ограничена на С?

6. Дать определение производной функции f(z) в точке z

7. Критерий дифференцируемости функции комплексного переменного

8. Дать определение аналитической (голоморфной) функции в точке и в области

9. Дать определение особых точек

10. Определение дифференциала аналитической функции

11. Может ли функция быть дифференцируемой в точке и не быть аналитической в этой точке?

12. Может ли функция быть аналитической только в одной точке?

13. Верно ли, что функция аналитическая в области D, если и – функции, гармонические в этой области?

14. Дать определение интеграла от функции f(z) по контуру L

15. Перечислить свойства интеграла от функции комплексного переменного

16. Сформулировать теорему Коши и ее следствия

17. Сформулировать интегральную формулу Коши

18. Дать определение ряда Тейлора функции f(z) в точке z₀

19. Если , следует ли из этого, что – аналитическая функция внутри замкнутой кривой L?

20. Дать определение нулей функции (простой нуль и нуль кратности m)

21. Дать определение ряда Лорана, указать правильную и главную части ряда Лорана

22. Дать классификацию особых точек

23. Может ли разложение некоторой функции в ряд Лорана содержать:

а) конечное число слагаемых с отрицательными степенями ;

б) конечное число слагаемых с положительными степенями ;

в) бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями ;

г) конечное число слагаемых с положительными степенями ?

24. Может ли точка быть особой точкой указанных типов для данных функций:

а) полюсом для и полюсом для ;

б) полюсом для и устранимой особой точкой для ;

в) полюсом для и существенно особой точкой для ;

25. Дать определение вычета функции в точке .

26. Сформулировать теорему о сумме вычетов и теорему Коши (основную теорему о вычетах)

27. Дать определение метрики и метрического пространства

28. Привести примеры метрических пространств

29. Привести аксиомы расстояния

30. Дать определение фундаментальной последовательности

31. Ввести в трехмерное пространство метрику, отличную от евклидовой, удовлетворяющую аксиомам метрики

32. Может ли быть, что при введении метрик в множество различные элементы в одной метрике окажутся совпадающими в другой метрике?

33. Дать определение полного пространства

34. Привести примеры полных и неполных пространств

35. Ввести на прямой метрику по формуле |arctg x-arctg y|. Будет ли это пространство полным?

36. Построить метрические пространства, обладающие и не обладающие свойством полноты

37. Сформулировать принцип сжимающих отображений

38. Дать определение оператора сжатия

39. Привести примеры применения принципа сжатых отображений

40. Дать определение нормированного пространства

41. Привести аксиомы скалярного произведения

42. Сформулировать тождество параллелограмма

43. Дать определение банахова пространства

44. Дать определение гильбертова пространства