24. Разложение булевых функций в сднф и скнф.
Определение. Функцияотnаргументовназывается булевой функцией (или функцией алгебры логики), если каждому наборуона ставит в соответствие число.
Для задания булевых функциймы будем использовать таблицы, векторы, формулы и графики. Примем следующее обозначение:– это множество всех наборов, где.
Теорема.Каждую булеву функциюможно представить в виде дизъюнктивной формы:, где 1 ≤ m ≤ n.
Определение.Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) функции – логическая сумма (дизъюнкция) нескольких слагаемых, каждое из которых является конъюнкциейnмножителей:.
С помощью СДНФ можно задать любую булеву функцию, кроме тождественного нуля.
Определение.Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) - это логическое произведение (конъюнкция) нескольких множителей, каждый из которых является дизъюнкциейnслагаемых:.
С помощью СКНФ можно задать любую булеву функцию, кроме тождественной единицы.
Пример.Функция «голосования»всегда принимает то значение, которое принимает большинство её аргументов.
| x y z | f (x,y,z) |
| 0 0 0 | 0 |
| 0 0 1 | 0 |
| 0 1 0 | 0 |
| 0 1 1 | 1 |
| 1 0 0 | 0 |
| 1 0 1 | 1 |
| 1 1 0 | 1 |
| 1 1 1 | 1 |
Перейдя к табличному заданию этой функции, выделим те наборы, на которых она обращается в единицу. Это наборы (011), (101), (110) и (111). СДНФ функции «голосования» будет иметь четыре слагаемых:
.
На остальных четырех наборах функция h(x,y,z) обращается в ноль. СКНФ функции «голосования» будет иметь четыре множителя:
.
- 1. Основные понятия теории графов, удаленность вершины, центр, радиус и диаметр графа.
- 2. Способы задания графов, свойства матриц смежности и инциденций, теорема о рукопожатиях.
- 3. Основные операции над графами, неравенства для числа вершин, ребер и компонент связности графа.
- 4. Типы графов, дополнительные графы, двудольные графы, критерий двудольности.
- 5. Обходы графов: эйлеровы цепи и циклы, необходимые и достаточные условия их существования, алгоритм Флери.
- 6. Обходы графов: гамильтоновы цепи и циклы, достаточные условия их существования.
- 7. Деревья, их свойства, кодирование деревьев, остовные деревья.
- 8. Экстремальные задачи теории графов: минимальное остовное дерево, алгоритмы Прима и Краскала.
- 9. Экстремальные задачи теории графов: задача коммивояжера, «жадный» алгоритм
- 10. Экстремальные задачи теории графов: задача о кратчайшем пути, алгоритм Дейкстры.
- 11. Изоморфизм и гомеоморфизм графов, методы доказательства изоморфности и неизоморфности графов.
- 12. Плоские укладки графов, планарные графы, критерий Понтрягина-Куратовского.
- 13. Необходимые условия планарности, формула Эйлера для планарных графов.
- 14. Правильные вершинные раскраски графов, хроматическое число, неравенства для хроматического числа.
- 15. Теорема о пяти красках, гипотеза четырех красок, «жадный» алгоритм.
- 16. Хроматический многочлен, его нахождение и свойства.
- 17. Задача о поиске выхода из лабиринта, реберная раскраска графа.
- 18. Ориентированные графы, источники и стоки, топологическая сортировка, алгоритм Демукрона.
- 19. Составление расписания выполнения комплекса работ в кратчайшие сроки методами теории графов.
- 20. Элементарные булевы функции и способы их задания (табличный, векторный, формульный, графический, карта Карно).
- 21. Существенные и фиктивные переменные булевых функций, основные тождества, эквивалентные преобразования формул.
- 22. Линейные и нелинейные полиномы Жегалкина, разложение булевых функций в полином Жегалкина методом неопределенных коэффициентов.
- 23. Линейные и нелинейные полиномы Жегалкина, разложение булевых функций в полином Жегалкина методом эквивалентных преобразований.
- 24. Разложение булевых функций в сднф и скнф.
- 25. Минимизация днф и кнф методом эквивалентных преобразований.
- 26. Минимизация днф и кнф с помощью карт Карно.
- 27. Замкнутые классы булевых функций т0, т1, l, лемма о нелинейной функции.
- 28. Замкнутые классы булевых функций s и м, леммы о несамодвойственной и немонотонной функции.
- 29. Полная система функций, теорема о двух системах булевых функций.
- 30. Теорема Поста о полноте системы булевых функций, алгоритм проверки системы на полноту, базис.
- 31. Схемы из функциональных элементов, правила построения и функционирования, метод синтеза сфэ, основанный на сднф и скнф.
- 32. Метод синтеза сфэ, основанный на компактной реализации всех конъюнкций с помощью универсального многополюсника, сложность получаемых схем.
- 33. Основные комбинаторные операции, сочетания и размещения (с возвращением и без возвращения элементов).
- 34. Комбинаторные принципы сложения, умножения, дополнения, включения-исключения.
- 35. Биномиальные коэффициенты, их свойства, бином Ньютона.
- 36. Треугольник Паскаля, полиномиальная формула.
- 37. Алфавитное кодирование: необходимое и достаточные условия однозначности декодирования.
- 38. Алфавитное кодирование: теорема Маркова, алгоритм Маркова.
- 39. Коды с минимальной избыточностью (коды Хаффмана), метод построения.
- 40. Линейные коды, порождающая матрица, двойственный код.
- 41. Самокорректирующиеся коды (коды Хэмминга), метод построения.
- 42. Определение, схема и функционирование абстрактного автомата, способы задания автоматов.
- 43. Типы конечных автоматов, автоматы Мили и Мура, автоматы-генераторы.
- 44. Слова и языки, операции над ними, их свойства.
- 45. Регулярные выражения и регулярные языки, теорема Клини.
- 46. Задача анализа автоматов-распознавателей.
- 47. Задача синтеза автоматов-распознавателей.
- 48. Эквивалентные состояния автомата-распознавателя, эквивалентные автоматы-распознаватели, минимизация автоматов-распознавателей, алгоритм Мили.
- 49. Эквивалентные состояния автомата-преобразователя, эквивалентные автоматы- преобразователи, минимизация автоматов- преобразователей, алгоритм Мили.
- 50. Детерминированные и недетерминированные функции, примеры, способы задания.
- 51. Ограниченно-детерминированные (автоматные) функции, способы их задания.
- 52. Логические автоматы, способы их задания, синтез двоичного сумматора.
- 53. Операции над логическими автоматами: суперпозиция и введение обратной связи.