7.2.2. Примеры метрических пространств

Приведем примеры наиболее часто употребляющихся метрических пространств.

1. X – произвольное множество,

Выполнение аксиом 1)-3) очевидно.

2. Множество вещественных чисел (точек одномерного пространства), расстояние между элементами которого определяют по формуле

называется пространством .

Выполнение аксиом метрики 1)-3) очевидно.

3. Множество точек n-мерного пространства , расстояние между элементами которого находят по формуле

,

будем называть пространством или n-мерным евклидовым пространством. В частности, при n=3

.

4. Пространство непрерывных функций . Введем метрику, полагая

.

Расстояние в этом пространстве означает максимальное отклонение одной функции от другой. Выполнение аксиом 1), 2) очевидно. Проверим выполнение аксиомы треугольника. Для любого имеем:

Отсюда

5. Пусть . Введем понятие метрики иначе:

.

Замечание. Если оба пространства (примеры 4 и 5) составлены из одних и тех же элементов, но с различной метрикой, то и пространства следует считать различными.

6. Пространство ограниченных вещественных функций .

Пусть множество ограниченных функций задано на отрезке . Расстояние между элементами этого множества определяют по формуле

.

Все аксиомы метрики выполняются.

7. Пространство , состоящее из n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке функций, расстояние между элементами которого определяют по формуле

.

8. Множество измеримых и суммируемых с p-й степенью функций, т. е. интеграл p-й степени существует и

,

называется пространством .

9. Пространство m ограниченных ( ) числовых последовательностей , имеет метрику

.

10. Пространство (координатное пространство Гильберта): элементами служат числовые последовательности, удовлетворяющие условию , а метрикой – функция

.

11. Пространство есть множество всех числовых последовательностей , для которых ряд сходится и расстояние определяется по формуле

,

(при p=2 получаем гильбертово пространство).

Справедливость аксиом симметрии и тождества очевидна. Справедливость аксиомы треугольника вытекает из неравенства Минковского:

.

Положив в неравенстве , учтя его справедливость для любого n и перейдя к пределу, получим:

.

12. Пространство есть множество всех измеримых функций , определенных на отрезке , для которых существует интеграл в смысле Лебега: , метрика в определяется формулой

.

13. Пространство есть множество всех измеримых функций , определенных на отрезке , для которых существует интеграл в смысле Лебега: , метрика в определяется формулой

,

(в частности, при p=2 получаем пространство ).

Для доказательства того, что расстояние, определенное в двух последних примерах, удовлетворяет всем аксиомам метрики, необходимо принять во внимание неравенство Минковского в интегральной форме:

.