2.5 Задача Дирихле. Бифуркация Хопфа.

Аргументом в задаче Дирихле является пространственная переменная r. Цель состоит в нахождении пространственного распределения концентраций вещества x_i(r). Известно, что на границах реактора (r.=0, r.= L) концентрации x_i(r) или их производные x_i/r зафиксированы и не зависят от времени.

Решение:

x(r,t) = x₀e^tSin(nr)

y(r,t) = y₀e^tSin(nr)

Эти решения соответствуют дифференциальным уравнениям

dx(r,t)/dt = a₁₁x + a₁₂y + D_xk²x

dy(r,t)/dt = a₂₁x + a₂₂y + D_yk²y

В этих уравнениях нет пространственных координат (r). По форме они подобны уравнениям точечным уравнениям динамики. Их устойчивость можно исследовать обычным образом.

В теории динамических систем, бифуркация Андронова — Хопфа — локальная бифуркация векторного поля на плоскости, в ходе которой особая точка-фокус теряет устойчивость при переходе пары её комплексно-сопряжённых собственных значений через мнимую ось. При этом либо из особой точки рождается небольшой устойчивый предельный цикл (мягкая потеря устойчивости), либо, наоборот, небольшой неустойчивый предельный цикл в момент бифуркации схлопывается в эту точку, и её бассейн отталкивания после бифуркации имеет отделённый от нуля размер (жёсткая потеря устойчивости).

Для того, чтобы эта бифуркация имела место, достаточно в дополнение к переходу собственных значений через мнимую ось наложить на систему некоторые условия типичности.

Бифуркация Андронова — Хопфа и седлоузловая бифуркация — единственные локальные бифуркации векторных полей на плоскости, возникающие в типичных однопараметрических семействах.