Простейшие модели, описываемые ду первого порядка: уравнения Мальтуса и Ферхюльста
Принципиальный шаг в математическом моделировании явлений природы был сделан 300 лет назад Ньютоном. Именно он предложил для описания динамических систем математический язык ДУ. Свое развитие этот язык получил в работах Лапласа, Эйлера, Коши. Все современные науки (в том числе и биология) используют ДУ и в этом смысле они являются универсальным средством математического моделирования.
Простейшим видом ДУ является автономное ДУ первого порядка:
.
Его решение (т. е. получение зависимости x(t)) находят путем интегрирования обеих частей уравнения по t, то есть:
,
где C – произвольная константа.
Таким ДУ, например, описывается рассмотренная ранее модель Мальтуса:
,
где x – количество членов популяции, q – коэффициент рождаемости.
Разделим переменные и проинтегрируем:
,
,
В данном случае физический смысл константы С – начальная численность популяции. Таким образом, обозначив ее как x0, окончательно получим решение ДУ:
Графики этой функции при положительных (размножение) и отрицательных (вымирание) значениях константы q скорости роста представлены ниже:
Рассмотрим еще один пример, который относится к классическим моделям математической экологии. Т. н. «логистическое уравнение» было предложено Ферхюльстом в 1838 г. Оно имеет вид:
,
где K – постоянный коэффициент.
Это уравнение, как и рассмотренное выше, можно решить аналитически.
Приведем сразу решение, опустив детали его получения:
,
при начальных условиях в момент времени :и:
Полученное решение обладает следующими важными свойствами:
1) Если начальный размер популяции небольшой (), то ее численностьх быстро возрастает, но по мере увеличения ее рост замедляется (перегиб в точке ), при этом численность приближается снизу к пределу, определяемому коэффициентомK.
2) При среднем начальном размере популяции () численность плавно (без перегиба) возрастает, приближаясь снизу к пределу, определяемому коэффициентомK.
3) При большом начальном размере популяции () численность убывает, приближаясь к пределу, определяемому коэффициентомK, снизу.
Данная модель хорошо отображает динамику колонии простейших микроорганизмов в условиях ограниченных пищевых ресурсов. Если численность популяции превышает некоторое пороговое значение, то в условиях нехватки питания среди членов колонии увеличивается смертность и замедляются процессы размножения.
- Моделирование биологических процессов и систем Лекция 1. Введение в моделирование Основные понятия моделирования
- 1. Познание окружающего мира.
- 4. Эффективность управления объектом (или процессом).
- Классификация моделей
- Структурные модели
- Понятие адекватности модели
- Инструментальные средства моделирования
- Лекция 2. Модели, описываемые дифференциальными уравнениями Статические и динамические модели
- Простейшие модели, описываемые ду первого порядка: уравнения Мальтуса и Ферхюльста
- Стационарные состояния и устойчивость
- Переменные состояния и фазовые траектории
- Системы дифференциальных уравнений. Модель «хищник – жертва»
- Переход от дифференциального уравнения высокой степени к системе дифференциальных уравнений первой степени. Модель колебаний сердечной мышцы.
- Аналитическое и численное решения дифференциальных уравнений
- Тема 3. Стохастическое моделирование
- Параметры случайной величины
- Равномерное распределение
- Нормальное распределение
- Метод Монте-Карло
- Искусственные нейронные сети
- Биологический прототип
- Искусственный (математический) нейрон
- Нейронная сеть без обратных связей - персептрон
- Обучение нейронных сетей
- Нейронные сети с обратными связями
- Генетические алгоритмы оптимизации
- Операции с нечеткими множествами
- Нечеткое управление