4. Аффинные задачи

Задача 5. Вычисление координат вектора

Д ано: , М₁(х₁; у₁), М₂(х₂; у₂)

Найти: координаты .

Решение (рис.1.11):

,

т.е.

(10)

Рис.1.11.

Координаты вектора, заданного координатами его начала и конца в аффинной системе координат, равны разности одноименных координат точек – конца и начала вектора соответственно.

Задача 6. Деление отрезка в данном отношении

Дано: , М₁(х₁; у₁), М₂(х₂; у₂), R.

Найти: координаты точки М(х; у) / .

Решение. Точка М делит направленный отрезок в отношении , т.е. . Для радиус-векторов точек справедливо равенство . Откуда по аналогии с выводом формул (5)-(7) и по свойству координат линейной комбинации векторов получим:

или (11)

Точка М принадлежит отрезку М₁М₂, если >0, и лежит вне отрезка М₁М₂, если <0. В первом случае будем говорить, что точка М делит отрезок М₁М₂ внутренним образом, во втором – внешним образом. Задача имеет решение при всех . Точка М – единственная для любых .

Для точек, принадлежащих одной прямой, (7) или .

Пример 3.

Дано: М₁(6; 0), М₂(–2; 1), .

Найти: координаты точки М(х; у) / .

Р ешение.

.

.

П

Рис.1.12.

Если , то , .

Пример 4.

Дано: точки A(2; 1), B(6; 3), C(4; 2), D(8; 4), F(–4; –2) лежат на одной прямой.

, ,

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой (7):

, , .

, , .

Задача 7. Вычисление координат середины отрезка

Это частный случай формул (9): при . Тогда получим:

(12)

Координаты середины отрезка равны полусумме одноименных координат его концов.

Пример 5.

Дано: М₁(6; 0), М₂(–2; 1).

Найти: координаты точки Р(х; у) – середины отрезка М₁М₂.

Решение.

. Тогда .

Задача 8. Условие принадлежности трех точек одной прямой

Задача 9. Вычисление центра тяжести треугольника и многоугольника

(Задачи 8-9 самостоятельно)