Формула Остроградского-Лиувилля.

Т :Пусть есть

с непререрывными коэффициентами

Если у этих уравнений общая фундаментальная система решений , то (7) и(21) совпадают,

Док-во

Вычитаем из (7) (21):

У (22) хотя бы в одной точке

хотя бы один из коэффициентов .

То т.к. непрерывны этот коэффициентв некоторой окрестности точки.То в этой окрестностиуравнение(22) будет линейным, однор, порядка не вышеn-1,

у которого частное решение.

Согласно тому что, макс. число лин. нез. частных решений лин. однор. уравнения равно его порядку, то частных решений на одно больше. Противоречие. (7) и (21) совпадают.

Таким образом, ф.с.р. однозначно определяет лин. однор. уравнение.

Поставим задачу: построить лин, однор, диф, уравнение имеющее решение .Т.к,искомого уравнения будет лин. зависеть от ф,с,р, тоn+1 функция будет лин.зависимой. То по 1 св-ву опеделителя Вронского

Разложим по последнему столбцу:

Првило диф. определителя: производная от определителя= сумме n определителя (первый получается путем диф. первой строки, второй- диф. второй сторки, последний- диф. последней сторки).Применяя это правило к определителю Вронского- все слагаемые кроме последнего

-ф.с.р. лин. однор. уравнения, частное решение, лин. нез.То по 2 св-ву определителя Вронского

- искомое.

Если сравнить (23) с (7) -уравнение 1 порядка с раздел. переменными, кот. интегрируется:

потенцеируем:

(24)- формула Остроградского-Лиувилля. Может использоваться для понижения порядка лин. однор. уравнения, если извнестно решение: .

Понизим его порядок, то согласно (24):

Это уравнение может быть решено методом вариаций постоянной, но применим метод интегрирующего множителя.

.Умножим на M.

Интегрируем по х.

Получим

№22