Задачи для самостоятельного решения

Найти общий интеграл дифференциальных уравнений:

1) . 2) .

3) . 4) . 5) . 6) .

7) . 8)

2. Уравнение Бернулли

.

Уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению с помощью замены переменной. Разделим все уравнение на :и сделаем замену переменной. Тогда. Подставим в уравнение:или. Получили неоднородное линейное уравнение для функцииz. После его решения можно найти .

Пример. или .

Перейдем к линейному уравнению, учитывая, что и.. Здесь.

Пусть z=UV;

• . Удобно принять С=1,тогда .

• , . Уравнение имеет еще решение y=0.

Задачи для самостоятельного решения

Найти общий интеграл дифференциальных уравнений:

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

7) . 8)

2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим частные типы уравнений второго порядка .

• 1. Уравнение не содержит явно искомой функции: . Понижение порядка такого уравнения достигается введением новой функции,. И уравнение принимает вид. Это уже уравнениеI порядка.

• 2. Уравнение не содержит явно независимой переменной :. В этом случае за новую функцию принимают, а за новую независимую переменную. Тогда. Такая замена переменных приведет к дифференциальному уравнению первого порядка:.

Пример 1. . Уравнение не содержит искомой функции. Поэтому,,. Это линейное дифференциальное уравнениеI порядка. Его можно решить так:

.

Заменяя на, снова приходим к уравнениюI порядка ,

откуда находим .

Пример 2. . Уравнение не содержит явно.

Замена .

а) .. Это уравнение с разделяющимися переменными.

.

Заменяя наснова приходим к уравнению первого порядка.

Разделяя переменные и интегрируя, найдем общее решение уравнения:

.

б) , но это решение содержится в общем (при).