§4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда фурье

1. Вводные замечания. В математической физике и в ряде других разделов математики существенную роль играет вопрос об условиях, при выполнении которых тригонометрический ряд Фурье функции сходится (к этой функции) в данной точке сегмента .

Еще в конце прошлого века было известно, что существуют непрерывные на сегменте функции, удовлетворяющие условию, тригонометрические ряды Фурье которых расходятся в наперед заданной точке сегмента (или даже расходятся на бесконечном множестве точек сегмента , всюду плотном на этом сегменте)⁸.

Таким образом, одна непрерывность функции на сегменте без дополнительных условий не обеспечивает не только равномерную сходимость тригонометрического ряда Фурье этой функции, но даже сходимость этого ряда в наперед заданной точке указанного сегмента.

В этом и следующем параграфах мы выясним, какие требования следует добавить к непрерывности функции (или ввести взамен непрерывности ) для обеспечения сходимости тригонометрического ряда Фурье этой функции в заданной точке, а также для обеспечения равномерной сходимости этого ряда на всем сегменте или на какой-либо его части.

При изучении сходимости тригонометрического ряда Фурье возникает и другой вопрос: должен ли тригонометрический ряд Фурье любой кусочно непрерывной (или даже строго непрерывной) на сегменте функции сходится хотя бы в одной точке этого сегмента?

Положительный ответ на этот вопрос был получен только в 1966г.