Когда сумма наименьшая?

Читатель, желающий испытать свои силы на доказательстве полезных алгебраических теорем, пусть докажет сам следующие положения:

1. Сумма двух чисел, произведение которых неизменно, становится наименьшей, когда эти числа равны.

Например, для произведения 36: 4 + 9 = 13, 3 + 12 = 15, 2 + 18 = 20, 1 + 36 = 37 и, наконец, 6 + 6 = 12.

2. Сумма нескольких чисел, произведение которых неизменно, становится наименьшей, когда эти числа равны.

Например, для произведения 216: 3 + 12 + 6 = 21, 2 + 18 + 6 = 26, 9 + 6 + 4 = 19, между тем как 6 + 6 + 6 = 18.

* * *

На ряде примеров покажем, как применяются на практике эти теоремы.

<Paaaa

Брус наибольшего объема

ЗАДАЧА

Из цилиндрического бревна надо выпилить прямоугольный брус наибольшего объема. Какой формы должно быть его сечение (рис. 23)?

Рис. 23.

РЕШЕНИЕ

Если стороны прямоугольного сечения х и у, то по теореме Пифагора

x² + y² = d²,

где d – диаметр бревна. Объем бруса наибольший, когда площадь его сечения наибольшая, т. е. когда ху достигает наибольшей величины. Но если ху наибольшее, то наибольшим будет и произведение х²y². Так как сумма х² + у² неизменна, то, по доказанному ранее, произведение х²y² наибольшее, когда

х² = у² или х = у.

Итак, сечение бруса должно быть квадратным.

<Paaaa

Два земельных участка

ЗАДАЧИ

1. Какой формы должен быть прямоугольный участок данной площади, чтобы длина ограничивающей его изгороди была наименьшей?

2. Какой формы должен быть прямоугольный участок, чтобы при данной длине изгороди площадь его была наибольшей?

РЕШЕНИЕ

1. Форма прямоугольного участка определяется соотношением его сторон х и у. Площадь участка со сторонами х и у равна ху, а длина изгороди 2х + 2у. Длина изгороди будет наименьшей, если х + у достигнет наименьшей величины.

При постоянном произведении ху сумма х + у наименьшая в случае равенства х = у. Следовательно, искомый прямоугольник – квадрат.

2. Если х и у – стороны прямоугольника, то длина изгороди 2х + 2у, а площадь ху. Это произведение будет наибольшим тогда же, когда и произведение 4ху, т. е. 2х · 2у; последнее же произведение при постоянной сумме его множителей 2х + 2у становится наибольшим при 2х = 2у, т. е. когда участок имеет форму квадрата.

К известным нам из геометрии свойствам квадрата мы можем, следовательно, прибавить еще следующее: из всех прямоугольников он обладает наименьшим периметром при данной площади и наибольшей площадью при данном периметре.

<Paaaa

Бумажный змей

ЗАДАЧА

Змéю, имеющему вид кругового сектора, желают придать такую форму, чтобы он вмещал в данном периметре наибольшую площадь. Какова должна быть форма сектора?

РЕШЕНИЕ

Уточняя требование задачи, мы должны разыскать, при каком соотношении длины дуги сектора и его радиуса площадь его достигает наибольшей величины при данном периметре.

Если радиус сектора х, а дуга у, то его периметр l и площадь S выразятся так (рис. 24):

,

.

Величина S достигает максимума при том же значении х, что и произведение 2х (l – 2х), т. е. учетверенная площадь. Так как рис. 24. сумма множителей 2х (l – 2х) = l есть величина постоянная, то произведение их наибольшее, когда 2х = l – 2х, откуда

,

.

Рис. 24.

Итак, сектор при данном периметре замыкает наибольшую площадь в том случае, когда его радиус составляет половину дуги (т. е. длина его дуги равна сумме радиусов или длина кривой части его периметра равна длине ломаной). Угол сектора равен   115 – двум радианам. Каковы летные качества такого широкого змея, – вопрос другой, рассмотрение которого в нашу задачу не входит.

<Paaaa