Ревизия магазина

ЗАДАЧА

При ревизии торговых книг магазина одна из записей оказалась залитой чернилами и имела такой вид:

Невозможно было разобрать число проданных метров, но было несомненно, что число это не дробное; в вырученной сумме можно было различить только последние три цифры, да установить еще, что перед ними были три какие-то другие цифры.

Может ли ревизионная комиссия по этим следам установить запись?

РЕШЕНИЕ

Обозначим число метров через х. Вырученная сумма выразится в копейках через

4936x.

Число, выражаемое тремя залитыми цифрами в записи денежной суммы, обозначим через у. Это, очевидно, число тысяч копеек, а вся сумма в копейках изобразится так:

1000y + 728.

Имеем уравнение

4936x  = 1000y + 728,

или, после сокращения на 8,

617x – 125y = 91.

В этом уравнении х и у – числа целые и притом у не больше 999, так как более чем из трех цифр оно состоять не может. Решаем уравнение, как раньше было указано:

125у = 617x – 91,

.

(Здесь мы приняли , так как нам выгодно иметь возможно меньшие остатки. Дробь

есть целое число, а так как 2 не делится на 125, то должно быть целым числом, которое мы и обозначили через t.)

Далее из уравнения

имеем:

17 – 4х = 125t,

,

где

,

и, следовательно,

x = 125t₁ – 27

y = 617t₁ – 134. [Обратите внимание на то, что коэффициенты при t₁ равны коэффициентам при х и у в исходном уравнении 617х – 125y = 91, причем у одного из коэффициентов при t₁ знак обратный. Это не случайность: можно доказать, что так должно быть всегда, если коэффициенты при х и у – взаимно простые.]

Мы знаем, что

.

Следовательно,

,

откуда

и .

Очевидно, для t₁ существует только одно целое значение:

t₁ = 1,

и тогда

х = 98, у = 483,

т. е. было отпущено 98 метров на сумму 4837 р. 28 к. Запись восстановлена.

<Paaaa