7)Теорема Безу

Остаток r при делении многочлена f (x) на двучлен

(x − c) равен f (c).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен P(x) на многочлен x − a:

P(x) = (x − a)Q(x) + R(x).

Так как deg R(x) < deg(x − a) = 1, то R(x) — многочлен степени не выше 0. Подставляя x = a, поскольку (a − a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(a).

Следствия

Число a является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x) делится без остатка на двучлен x − a (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочленаP(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения P(x) = 0).

Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).

Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.