4 Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат.

Определение 4.1. Кривой второго порядка называется множество точек комплексной плоскости координаты которых относительно некоторой аффинной системы координат удовлетворяют уравнению ,  где  . Поскольку понятие алгебраической линии и ее порядок не зависит от выбора системы координат, то можно считать, что уравнение дано относительно прямоугольной декартовой системы координат. Рассмотрим многочлен   . Нас интересует вопрос, как преобразуется многочлен  , при преобразовании координат. Как нетрудно видеть любое преобразование декартовых координат складывается из поворота на некоторый угол   и параллельного переноса. I). Рассмотрим поворот на угол  , тем самым перейдем к новой системе координат   и посмотрим как изменится многочлен   при этом переходе. Подставляем в   вместо   и   их выражения из   и получаем . Обозначая преобразованный многочлен через получим, что   Замечание 4.1. Эти равенства можно представить в матричной форме. Введем следующие матрицы: Тогда справедливы следующие матричные равенства   II) Параллельный перенос. Предварительно введем в рассмотрение следующие многочлены тогда  . Рассмотрим как изменятся коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка при параллельном переносе начала координат в некоторую точку  . В этом случае формулы преобразования имеют вид  . Подставим   в   и получим Обозначая, как и раньше, преобразованный многочлен через получим равенства