Продажа кур

СТАРИННАЯ ЗАДАЧА

Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей.

По какой цене продавали они кур до и после полудня?

РЕШЕНИЕ

Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня, через х, у, z. Во вторую половину дня они продали 10 – х, 16 – у, 26 – z кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через п. Для ясности сопоставим эти обозначения:

Первая сестра выручила:

тх + п (10 – х); следовательно, тх + п (10 – х) = 35;

вторая:

ту + п (16 – у); следовательно, ту + п (16 – у) = 35;

третья:

тz + п (26 – z); следовательно, тz + п (26 – z) = 35.

Преобразуем эти три уравнения:

Вычтя из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:

или

Делим первое из этих уравнений на второе:

или .

Так как х, у, z – числа целые, то и разности х – z, у – z – тоже целые числа. Поэтому для существования равенства

необходимо, чтобы x – z делилось на 8, а у – z на 5. Следовательно,

,

откуда

Заметим, что число t – не только целое, но и положительное, так как х > z (в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья).

Так как х < 10, то

z + 8t < 10.

При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z = 1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения

находим: х = 9, у = 6.

Теперь, обращаясь к уравнениям

тх + п (10 – х) = 35; ту + п (16 – у) = 35; тz + п (26 – z) = 35.

и подставив в них найденные значения х, у, z, узнаем цены, по каким продавались куры:

руб., руб.

Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

<Paaaa