logo search
Ответы по алгему

37. Параболоиды. Уравнения цилиндрических и конических поверхностей.

Определение 5.13. 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением  a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Свойства эллиптического параболоида.

  1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

  2. Эллиптический параболоид обладает

  • В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox иOy – парабола.

    Определение 5.14. 

    Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением  a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

    Рисунок 5.7.3

    Свойства гиперболического параболоида.

    1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

    2. Гиперболический параболоид обладает

    • осевой симметрией относительно оси Oz,

    • плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.

  • В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.

  • Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

    уравнение (56) - прямой круговой цилиндр (рис. 19),  уравнение (57) - эллиптический цилиндр (рис. 20),  уравнение (58) - гиперболический цилиндр (рис. 21),  уравнение (59) - параболический цилиндр (рис. 22).

    Пусть направляющая конуса задана уравнениями:

    а вершина S конуса имеет координаты x0, y0, z0.

    Уравнения образующей запишем как уравнения прямой, проходящей через две точки S(x0, y0, z0) и M(x, y, z), принадлежащие направляющей (60):

    где X ,Y, Z - текущие координаты точек образующих.

    Исключая из уравнений (60) и (61) x, y, z, получим уравнение относительно переменных X, Y, Z, т.е. уравнение конической поверхности

    .