Когда без алгебры проще

Наряду со случаями, когда алгебра оказывает арифметике существенные услуги, бывают и такие, когда вмешательство алгебры вносит лишь ненужное усложнение. Истинное знание математики состоит в умении так распоряжаться математическими средствами, чтобы избирать всегда самый прямой и надежный путь, не считаясь с тем, относится ли метод решения задачи к арифметике, алгебре, геометрии и т. п. Полезно будет поэтому рассмотреть случай, когда привлечение алгебры способно лишь запутать решающего. Поучительным примером может служить следующая задача.

Найти наименьшее из всех тех чисел, которые при делении

РЕШЕНИЕ

Задачу эту предложили мне со словами: "Как вы решили бы такую задачу? Здесь слишком много уравнений; не выпутаться из них".

Ларчик просто открывается; никаких уравнений, никакой алгебры для решения задачи не требуется – она решается несложным арифметическим рассуждением.

Прибавим к искомому числу единицу. Какой остаток даст оно тогда при делении на 2? Остаток 1 + 1 = 2; другими словами, число разделится на 2 без остатка.

Точно так же разделится оно без остатка и на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8 и на 9. Наименьшее из таких чисел есть 9 · 8 · 7 · 5 = 2520, а искомое число равно 2519, что нетрудно проверить испытанием.

<Paaaa

Глава четвертая. ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

<Paaaa

Покупка свитера

ЗАДАЧА

Вы должны уплатить за купленный в магазине свитер 19 руб. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира – только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно?

Вопрос задачи сводится к тому, чтобы узнать, сколько должны вы дать кассиру трехрублевок, чтобы, получив сдачу пятирублевками, уплатить 19 рублей. Неизвестных в задаче два – число (х) трехрублевок и число (у) пятирублевок. Но можно составить только одно уравнение:

3х – 5y = 19.

Хотя одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решений, но отнюдь еще не очевидно, что среди них найдется хоть одно с целыми положительными х и у (вспомним, что это – числа кредитных билетов). Вот почему алгебра разработала метод решения подобных "неопределенных" уравнений. Заслуга введения их в алгебру принадлежит первому европейскому представителю этой науки, знаменитому математику древности Диофанту, отчего такие уравнения часто называют "диофантовыми".

РЕШЕНИЕ

На приведенном примере покажем, как следует решать подобные уравнения.

Надо найти значения х и у в уравнении

3х – 5y = 19,

зная при этом, что х и у – числа целые и положительные.

Уединим то неизвестное, коэффициент которого меньше, т. е. член 3х; получим:

3х = 19 + 5y,

откуда

.

Так как х, 6 и у – числа целые, то равенство может быть верно лишь при условии, что есть также целое число. Обозначим его буквой t. Тогда

х = 6 + y + t,

где

,

и, значит,

3t = 1 + 2у, 2y = 3t – 1.

Из последнего уравнения определяем у:

.

Так как у и t – числа целые, то и должно быть некоторым целым числом t₁. Следовательно,

y = t + t₁,

причем

t₁ =  ,

откуда

2t₁ = t – 1 и t = 2t₁ + 1.

Значение t = 2t₁ + 1 подставляем в предыдущие равенства:

y = t + t₁ = (2t₁ + 1) + t₁ = 3t₁ + 1, х = 6 + y + t = 6 + (3t₁ + 1)+(2t₁ + 1) = 8 + 5t₁.

Итак, для х и у мы нашли выражения [Строго говоря, мы доказали только то, что всякое целочисленное решение уравнения 3х – 5у = 19 имеет вид x = 8 + 5 t₁, y = l + 3 t₁, где t₁ – некоторое целое число. Обратное (т. е. то, что при любом целом t₁ мы получаем некоторое целочисленное решение данного нам уравнения) доказано не было. Однако в этом легко убедиться, проводя рассуждения в обратном порядке или подставив найденные значения х и у в первоначальное уравнение.]

x = 8 + 5t₁, y = 1 + 3t₁.

Числа х и у, мы знаем, – не только целые, но и положительные, т. е. бóльшие чем 0. Следовательно,

8 + 5t₁ > 0, 1 + 3t₁ > 0.

Из этих неравенств находим:

5t₁ > –8 и t₁ > – , 3t₁ > –1 и t₁ > – .

Этим величина t₁ ограничивается; она больше чем (и, значит, подавно больше чем ). Но так как t₁ – число целое, то заключаем, что для него возможны лишь следующие значения:

t₁ = 0, 1, 2, 3, 4, ...

Соответствующие значения для х и у таковы:

x = 8 + 5t₁ = 8, 13, 18, 23, ..., y = 1 + 3t₁ = 1, 4, 7, 10, ...

Теперь мы установили, как может быть произведена уплата:

вы либо платите 8 трехрублевок, получая одну пятирублевку сдачи:

8 · 3 – 5 = 19,

либо платите 13 трехрублевок, получая сдачи 4 пятирублевки:

13 · 3 – 4 · 5 = 19

и т. д.

Теоретически задача имеет бесчисленный ряд решений, практически же число решений ограничено, так как ни у покупателя, ни у кассира нет бесчисленного множества кредитных билетов. Если, например, у каждого всего по 10 билетов, то расплата может быть произведена только одним способом: выдачей 8 трехрублевок и получением 5 рублей сдачи. Как видим, неопределенные уравнения практически могут давать вполне определенные пары решений.

Возвращаясь к нашей задаче, предлагаем читателю в качестве упражнения самостоятельно решить ее вариант, а именно рассмотреть случай, когда у покупателя только пятирублевки, а у кассира только трехрублевки. В результате получится такой ряд решений:

x = 5, 8, 11, ..., y = 2, 7, 12, ...

Действительно,

5 · 5 –  2 · 3 = 19, 8 · 5 –   7 · 3 = 19, 11 · 5 – 12 · 3 = 19, . . . . . . . . . . .

Мы могли бы получить эти результаты также и из готового уже решения основной задачи, воспользовавшись простым алгебраическим приемом. Так как давать пятирублевки и получать трехрублевки все равно, что "получать отрицательные пятирублевки" и "давать отрицательные трехрублевки", то новый вариант задачи решается тем же уравнением, которое мы составили для основной задачи:

3х – 5y = 19,

но при условии, что x и у – числа отрицательные. Поэтому из равенств

x = 8 + 5t₁, y = 1 + 3t₁.

мы, зная, что х < 0 и у < 0, выводим:

8 + 5t₁ < 0, 1 + 3t₁ < 0.

и, следовательно,

.

Принимая t₁ = –2, –3, –4 и т. д., получаем из предыдущих формул следующие значения для х и у:

t₁ = –2, –3, –4, x = –2, –7, –12, y = –5, –8, –11.

Первая пара решений, х = –2, у = –5, означает, что покупатель "платит минус 2 трехрублевки" и "получает минус 5 пятирублевок", т. е. в переводе на обычный язык – платит 5 пятирублевок и получает сдачи 2 трехрублевки. Подобным же образом истолковываем и прочие решения.

<Paaaa