2.3 Существование решении возмущенной задачи

Результаты, полученные обладают той особенностью, что справедливость асимптотического представления гарантируется на некотором сегменте [0,T], определяемом свойствами правой части (2.3.1), одновременно с существованием и единственностью как невозмущенного, так и возмущенного уравнений.

Можно ставить вопрос иначе. Допустим, что решение невозмущенной задачи (2.3.2) существует, единственно и принадлежит некоторой области G пространства переменных y(t,м) при, 0?t?T. Величину T в данном случае можно, например, установить непосредственно из явного вида y(t). Будет ли при достаточно малых м решение задачи (2.3.1) также существовать на всем [0,T] и подчиниться формуле (1.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 1.2. Пусть в области

непрерывны и равномерно ограничены:

Пусть решение y(t) задачи (2.3.2) существует, единственно на [0,T] и принадлежит . Тогда при каждом достаточно малом м решение y(t,м) задачи (2.3.1) также существует, единственно на [0,T] принадлежит G, и имеет место равномерный относительно предельный переход

(2.3.8)

Доказательство. Перейдем в (2.3.1) к новой неизвестной функции . Имеем

Перейдем к эквивалентному интегральному уравнению

(2.3.9)

где причем . Здесь и в

дальнейшем бесконечно малые при м >0 величины будем обозначать

щ(м), щ₁(м) и т. д. Применим к уравнению (2.3.9) метод последовательных приближений и докажем, что ^(t,м) существует на сегменте [0,Т] и .Это очевидно, равносильно утверждению теоремы 1.2.

Построим последовательные приближения обычным образом

Предварительно заметим, что так как y=y(t) принадлежит G для кривая , где при достаточно малом м. также принадлежит G для

Положим Тогда

(2.3.10)

^|

В равномерной сходимости последовательности ^(k)^ к решению ^(t,м) уравнения (2.3.9) можно убедиться совершенно, может в пределе при k>? появиться равенство. Поэтому , что равносильно (2.3.8).

Замечание. Теорема доказана для скалярного случая, но аналогичное утверждение справедливо и для случая, когда y -- вектор.

2.3.2 Теорема 2.3.2 остается справедливой, если имеет место возмущение не только в уравнении, во и в начальных условиях, т. е. имеет вид