5.1.1 Асимптотика первого порядка

Обозначив ε = 1/T, в основном уравнении для MAP-потока выполним замены

εt = τ, u = εw, H(u, t) = F₁ (w, τ, ε) (1)

получим

, (2)

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Предельное при 0 значение F₁(w,) решения F₁(w,,) уравнения (2) имеет вид

F₁ (w, τ) = Re ^jwλτ, (3)

где вектор строка R определена выше, а величина λ определяется равенством

λ = RBE, (4)

здесь E – единичный вектор столбец.

Доказательство.

В уравнении (2) выполним предельный переход при 0, получим, что F₁(w,) является решением однородной системы линейных алгебраических уравнений

F₁(w,)Q = 0,

поэтому F₁(w,) имеет вид

F₁(w,) = R Φ₁(w,) (5)

здесь R – вектор стационарного распределения вероятностей значений цепи Маркова k(t), а функцию Φ₁(w,) определим следующим образом.

Просуммируем все уравнения системы (2), запишем

.

Поделив левую и правую части этого равенства на  и, полагая 0, получим, что для F₁(w,) выполняется равенство

,

подставляя в которое (5), для функции Φ₁(w,) получим обыкновенное дифференциальное уравнение

здесь λ определяется равенством (1.31). Решение Φ₁(w,) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию Φ₁(w,0) = 1 имеет вид

Φ₁ (w, τ) = e ^jwλτ.

Подставляя это выражение в (1.32), получим, что выполняется равенство (1.30).

Теорема доказана.

В силу замены (1) и равенства (3) можно записать приближённое (асимптотическое) равенство

H(u, t) = F₁(w,,) ≈ F₁(w,) = Re ^juλt (6)

Тогда для характеристической функции Me ^jum(t) величины m(t) запишем

Me ^jum(t) = H(u, t)E = e ^juλt.

Полученное равенство будем называть асимптотикой первого порядка для MAP-потока.

Для нахождения аппроксимации распределения вероятностей P(m, t) величины m(t) рассмотрим асимптотику второго порядка.