1. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

ППусть фиксированное алгебраически замкнутое поле. nмерным аффинным пространством над будем назвать множество наборов n элементов из поля ,обозначим это пространство . Элемент , где , будем называть точкой аффинного пространства , а все - координатами этой точки.

Пусть кольцо многочленов.

это множество нулей любого многочлена из . Более общим образом можно говорить о множестве нулей:

,

где произвольное подмножество многочленов из .

Теперь приведем несколько основных определений.

Аффинным (алгебраическим) множеством называется подмножество в ,если существует такое подмножество ,что .

Непустое подмножество топологического пространства называется неприводимым, если его нельзя представить в виде такого объединения: , где и - замкнутые, собственные подмножества в . Например, аффинная прямая неприводима, так как ее собственные замкнутые подмножества конечны, а как множество бесконечно.

Неприводимое замкнутое подмножество пространства называется аффинным алгебраическим многообразием( или просто аффинным многообразием). Открытое подмножество аффинного многообразия называется квазиаффинным многообразием.

Для любого подмножества определим его идеал в :

.

Пусть аффинное алгебраическое множество, соответствующий ему идеал. Факторкольцо

будем называть аффинным координатным кольцом множества . Заметим, что в случае когда аффинное многообразие, кольцо является целостным (не содержит делители нуля). Более того, является конечнопорожденной алгеброй.

Определим Топологию Зарисского на .В качестве открытых подмножеств выберем дополнения ко всевозможным алгебраическим множествам это действительно топология, так как пересечение двух открытых множеств и объединение любого семейства открытых множеств снова являются открытыми (1,гл.I,предложение 1.1).Кроме того, пустое множество и все пространство тоже являются открытыми множествами.

Например, выясним, как устроена топология Зорисского на аффинной прямой . Каждый идеал в кольце является главным, поэтому каждое алгебраическое множество - это множество нулей одного многочлена, так как поле алгебраически замкнуто, то всякий ненулевой многочлен может быть записан в виде

,

где .

В таком случае, . Таким образом, алгебраические множества в - это всевозможные конечные подмножества (включая пустое множество) и вся прямая, соответствующая нулевому многочлену . Следовательно, открытыми множествами в являются пустое множество и дополнения к конечным подмножествам.

Топологическое пространство называется нётеровым, если для его замкнутых подмножеств выполняется условие обрыва возрастающих цепочек: для любой последовательности замкнутых подмножеств в ,существует такое целое число s, что .

Для возможности продвижения дальше, а точнее для перехода к проективным пространствам, необходимо разобрать несколько примеров.

Пример 1.1 Докажем, что пространство нётерово. Если убывающая цепочка замкнутых подмножеств, то возрастающая цепочка идеалов в . Т.к. кольцо нётерово (по следствию из теоремы Гильберта о базисе), то эта цепочка идеалов обрывается. Но так как , цепочка подмножеств также обрывается, что и следовало доказать.

Пример 1.2 Пусть плоская кривая . Показать, что изоморфно кольцу многочленов от одной переменной над полем .

Необходимо заметить, что есть множество нулей многочлена , т.е.

.

Переформулируем задачу в терминах, используемых в данной работе: Нам нужно доказать, что . В данном случае понятно, что является аффинным многообразием, аффинным координатным кольцом. Теперь рассмотрим существование изоморфизма:

(1)

Понятно, что

- сюръективный гомоморфизм алгебр. Тогда выражение (1) включается в коммутативный треугольник алгебр

И определяется соответствием . Непосредственная проверка определения показывает, что гомоморфизм. Обратный ему задается соответствием . Это показывает, что - гомоморфизм.

Пример 1.3 Пусть алгебраическое множество в , определенное двумя многочленами и . Показать, что разбивается в объединение неприводимых компонент.

Рассмотрим систему уравнений:

,

Теперь представим второе уравнение системы в виде совокупности двух уравнений, затем объединим с первым уравнением и запишем новую систему:

Данную систему разобьем в систему двух совокупностей, и будем продолжать так дальше:

Таким образом, мы разложили в объединение неприводимых компонент, заданных идеалами .

Пример 1.4 Показать, что коммутативная ассоциативная алгебра с единицей тогда и только тогда изоморфна аффинному координатному кольцу некоторого алгебраического множества в для некоторого ,когда конечно порождена над .

алгебра конечно порождена, если существует сюръективный гомоморфизм:

,

с ядром

При этом

.

Поскольку кольцо нетерово, то идеал конечно порожден, в нем можно выбрать конечную систему образующих

Тогда система уравнений задает искомое подмножество , такое, что .

Обратно, пусть алгебра изоморфна координатному кольцу некоторого замкнутого алгебраического множества в аффинном пространстве . Тогда определен сюръективный гомоморфизм алгебр , который и доказывает конечную порожденность алгебры

Пример 1.5 Показать, что, если - произвольное подмножество топологического пространства , то .

Для решения данной задачи необходимо привести определение размерности топологического пространства.

Размерностью топологического пространства называется точная верхняя грань множества всех целых чисел , таких, что существует цепочка отличающихся друг от друга неприводимых замкнутых подмножеств в .

Рассмотрим две цепочки неприводимых замкнутых подмножеств:

;

.

Нужно показать, что точная верхняя грань множества длин возрастающих последовательностей неприводимых замкнутых подмножеств в не превосходит точной верхней грани множества длин возрастающих последовательностей неприводимых замкнутых подмножеств в .

Возьмем возрастающую последовательность в :

,

очевидно, что ее нельзя уплотнить до .

Тогда возьмем цепочку замыканий множеств :

.

Может случиться, что данную цепочку уплотнить можно, то есть

.

Тогда и получается, что , что и требовалось показать.