Однородные проективные координаты

Рассмотрим расширенную евклидову прямую. Пусть одна из базисных точек будет несобственной, например Е_1∞ . Так как на расширенной прямой только одна несобственная точка, то у всех остальных точек х₂ ≠0.

Возьмем базис в V₂ следующим образом:

ē = , ē₂ = ,

тогда ē₁ = .

Пусть М = х₁ ∙ē₁ + х₂ ∙ē₂ , или =∙ē₁+1∙ē₂ =∙+1∙ē₂, но коэффициент 1 перед ē₂ будет у всех векторов, кроме ē₁, а значит все точки кроме Е_1∞ определяются отношением . Если точку Е₂ взять в качестве начала отсчета, а точку Е в качестве единицы, то на прямой получается аффинная система координат с базисным вектором ē₁= и для построения точки достаточно знать аффинную координату х=. Единственная точка, у которой не может быть аффинной координаты - точка Е_1∞ .

Задача. Найти аффинные координаты точек А, В , С

Решение. А имеет аффинную координату х_А= - ⅔,

В имеет аффинную координату х_В= 0, С → х_С= 2.

Замечание: Если х - аффинная координата точки Х, тогда проективными координатами точки будут - .

Точка Е_1∞ - не имеет аффинных координат, т.к. её нет на аффинной прямой.

Замечание: Несобственной точкой в репере может быть точка Е_2∞ , тогда аффинный репер будет состоять из точек Е₁ (начало) и Е (единица), а аффинная координата будет х = .

Определение: Проективный репер прямой, в котором одна из вершин является несобственной точкой называется однородным. (однородная проективная система координат).

Определение: Аффинная система координат, связанная с однородной проективной системой координат называется неоднородной аффинной системой координат.

Замечание: Если несобственной будет единичная точка Е, то репер не будет однородным.

Рассмотрим расширенную евклидову плоскость.

Пусть две базисные точки будут несобственными, например Е_1∞ .и Е_2∞ .

Если у точки плоскости координата х₃ = 0, тогда точка лежит на прямой (Е_1∞ Е_2∞) которая является несобственной прямой, а значит и сама точка является несобственной.

Рассмотрим точки, для которых х₃ ≠ 0.

Возьмем базис в V₃ следующим образом: ē= , ē₃= , тогда ē₁= и ē₂=.

Пусть М - собственная точка =х₁∙ē₁+ х₂∙ē₂+ х₃∙ē₃, или

=∙ē₁+∙ē₂+ ē₃=∙+∙+ ē₃, но коэффициент 1 перед ē₃ будет у всех точек плоскости, для которых х₃ ≠ 0, а значит, такие точки определяются отношениями и .

Если обозначить = х и = у, то получим = х ∙ē₁ + у ∙ē₂ .

Это означает, что х и у - аффинные координаты собственных точек на плоскости.

Начало координат в точке Е₃ , оси ОХ и ОY - это прямые (Е_1∞ Е₃) и (Е_2∞ Е₃), единицы на осях - Е₁₀ и Е₂₀ , базисные векторы ē₁ = и ē₂ = .

Вывод: Любая собственная точка М на расширенной евклидовой плоскости будет иметь аффинные координаты - ( х ; у ), где х = и у =. И наоборот, точка с аффинными координатами - ( х ; у ) будет иметь проективные координаты - .

Если точка несобственная - N_∞ , то задать её можно только с помощью прямой на которой она лежит (т.к. каждая прямая имеет только одну несобственную точку).

У всех несобственных точек х₃=0, вектор порождающий такую точку будет - = х₁∙ē₁+ х₂∙ē₂+ 0∙ē₃ или = х₁∙ē₁+ х₂∙ē₂ - это направляющий вектор прямой, на которой лежит несобственная точка N_∞ .

Задача. Найти аффинные координаты точек

А, В, С, D.

Решение. Для А аффинные координаты будут (0,4;-0,6), для точки В - ( -1 ; -3 ), для С - ( 2 ; 0 ). Точка D является несобственной, т.к. х₃=0 , аффинных координат у этой точки нет. Тогда эту точку можно задать только с помощью прямой на которой она лежит. Направляющий вектор этой прямой будет - = 1∙ē₁ - 3∙ē₂ .

Задача. Найти проективные координаты точек А( 4 ; -3 ), В( 5 ; 0 ).

Решение. А( 4 ; -3 ) имеет проективные координаты . Точка В( 5 ; 0 ) - .

Задача. Найти координаты несобственной точки, лежащей на прямой т : 2 х + 7 у =0.

Решение. Направляющий вектор прямой будет ( 7 ; -2 ) проективные координаты точки М_∞.

Замечание: Несобственными точками могут быть точки Е_1∞ и Е_3∞ , тогда аффинные координаты будут - х = и у =.

Или несобственными точками в репере могут быть точки - Е_2∞ и Е_3∞ (аффинные координаты определите самостоятельно).

Определение: Проективный репер плоскости, в котором две из трёх вершин являются несобственными точками, называется однородным (однородная проективная система координат).

Определение: Аффинная система координат, связанная с однородной проективной системой координат, называется неоднородной аффинной системой координат.

Замечание: Если одной из несобственных точек будет единичная точка Е, то репер не будет однородным.

Могут ли 3 вершины репера быть несобственными точками?

Замечание: Построение в однородной проективной системе координат более просты.

Задача. В репере R(Е₁ , Е_2∞ , Е_3∞ , Е) построить точки А , В , С .

Решение. Несобственная прямая (Е_2∞Е_3∞) - х₁ = 0. Аффинные координаты - х = и у =.

Тогда А( -1,5 ; 0,5 ) , В( 0 ; 3 ) .

Для точки С - х₁ = 0, значит точка - несобственная. Направляющий вектор прямой, на которой лежит точка С - = ( 2 ; -1 ).