Связь между проективными и аффинными координатами. Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.

Прежде всего рассмотрим проективную прямую P¹, вложенную в расширенную плоскость.

Обсудим отличие аффинной прямой от проективной. Ясно, что проективная прямая имеет на одну точку больше, чем аффинная. Напомним, что координатой точки M аффинной прямой в репере (A, e) называется такое число x, что = xe.

Лемма. Пусть на расширенной прямой выбраны репер R = (A, B_∞, E), где B_∞ - несобственная точка, и собственная точка M, имеющая в репере R координаты (x¹, x²). Тогда точка M в аффинном репере (A, ) аффинной прямой d имеет координату .

Доказательство. Возьмем собственную точку O расширенной плоскости, не лежащую на прямой . Пусть x - аффинная координата точки M в репере (A, ), то есть = x.

П усть вектор параллелен прямой d и + = . Система векторов , , согласована и порождает точки проективного репера R = (A, B_∞, E), заметим, что = . Поскольку = x, то = + x. Вектор порождает точку M, поэтому числа (1,x) являются координатами точки M в репере R. По условию леммы (x¹, x²) также координаты точки M, следовательно (1,x) и (x¹, x²) пропорциональны, т.е. x= , что и требовалось доказать.

Обобщим конструкцию на случай репера, заданного на расширенной плоскости . Пусть на задан репер R = (A, Х_∞, Y_∞, E), где точки A и E - собственные, а X_∞, Y_∞ - бесконечно удаленные.

Пусть E₃ = (AX_∞) ∩ (Y_∞ E), E₂ = (A Y_∞) ∩ (X_∞ E). Если M_∞ есть какая-либо несобственная точка расширенной плоскости, то она принадлежит бесконечно удаленной координатной прямой (X_∞ Y_∞), и имеет координаты (0, x², x³). Если N(y¹, y², y³) – собственная точка, то y¹ ≠ 0. Положим e₁ = и e₂ = , тогда на аффинной плоскости = e₁ + e₂.

Рассмотрим аффинный репер R₀ = (A, e₁, e₂), пусть в этом репере точка N имеет координаты (x, y). Используя результат леммы, имеем x = , y = .

Рассмотрим множество H всех проективных преобразований расширенной плоскости, переводящих несобственную прямую (Х_∞ Y_∞) в себя, H есть подгруппа группы всех проективных преобразований плоскости. Пусть fH, запишем аналитическое выражение преобразования f в репере  = (A, Х_∞, У_∞, E):

(1)

Бесконечно удаленная прямая имеет уравнение x³=0 и при преобразовании f переходит в себя, следовательно, = 0, = 0. В формулах (1) ρ ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0.

Разделив почленно первое и второе равенства в (1) на третье, получаем

, где =, i, j = 1,2, ≠ 0.

Группа аффинных преобразований аффинной плоскости изоморфна H, таким образом, аффинную геометрию на плоскости можно рассматривать как геометрию, изучающую свойства фигур, инвариантных относительно группы H.