2.МЕТОД ИНДУЦИРОВАННОЙ АЛГЕБРЫ
Сущность метода заключается в том, что дифференциальное уравнение представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Правая часть уравнений составляющих систему преобразуются в квадратичные формы.
В статье [2] Ньюком показывает, как полиноминальные системы сводятся к системам с квадратичной правой частью.
Пусть -n -мерный вектор-столбец, элементами которого являются действительные функции времени t. Будем интерпретировать вектор x как вектор состояния некоторой физической системы. Зададим n действительных симметричных матриц размерностью , и определим систему квадратичных дифференциальных уравнений , в виде
(2.1)
где точка означает производную по времени, а ~- операцию транспонирования. Перепишем эту систему в координатной форме:
(2.2)
Верхний индекс у компонент вектора в (2.2), не является показателем степени, а номером компоненты.
В своей работе автор называет алгеброй, некоторый алгоритм, следуя которому любые два вектора можно перемножить, и получить вектор того же пространства. Предполагается, что вектор можно разложить по базису этого пространства и алгебра полностью определяется заданием таблицы умножения базисных векторов. Таким образом, любой вектор можно представить в виде
, (2.3)
где - действительные функции времени, а - векторы базиса.
Следуя Маркусу [3], автор определяет таблицу умножения базисных векторов:
(2.4)
и тем самым определяет алгебру индуцированную системой дифференциальных уравнений. Таблицу умножения (2.4), можно записать в компактном матричном виде
(2.5)
Далее Ньюком использует разложение (2.3) и переписывает систему (2.1) в виде:
(2.6)
Для решения системы (2.6) необходимо использовать начальное условие , которое в индуцированной алгебре записывается в виде:
. (2.7)
Предполагая, что решение можем представить в виде степенного ряда, запишем его
(2.8)
здесь - вектор, векторные коэффициенты каждого слагаемого из (2.8)
, (2.9)
(2.10)
Для получения решения уравнения необходимо приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях в рядах (2.9) и (2.10). Поскольку j+k=i-1, в результате имеем:
(2.11)
Коэффициент определяется из начального условия
(2.12)
Используя (2.11) и коммутативность алгебры для упрощения, найдём соотношение между коэффициентами ряда (2.8):
, (2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16) (2.17)
- Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения
- 7.3 Решение простейших дифференциальных уравнений
- 2. Решение нелинейных уравнений
- Дополнение 1: Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения
- 6.3 Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- Развитие методов решения нелинейных дифференциальных уравнений
- Некоторые методы численного решения систем дифференциальных уравнений.
- Методы решения систем нелинейных уравнений
- 1. Основные численные методы решения дифференциальных уравнений
- Принцип составления и решения нелинейных уравнений