Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений

курсовая работа

2.МЕТОД ИНДУЦИРОВАННОЙ АЛГЕБРЫ

Сущность метода заключается в том, что дифференциальное уравнение представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Правая часть уравнений составляющих систему преобразуются в квадратичные формы.

В статье [2] Ньюком показывает, как полиноминальные системы сводятся к системам с квадратичной правой частью.

Пусть -n -мерный вектор-столбец, элементами которого являются действительные функции времени t. Будем интерпретировать вектор x как вектор состояния некоторой физической системы. Зададим n действительных симметричных матриц размерностью , и определим систему квадратичных дифференциальных уравнений , в виде

(2.1)

где точка означает производную по времени, а ~- операцию транспонирования. Перепишем эту систему в координатной форме:

(2.2)

Верхний индекс у компонент вектора в (2.2), не является показателем степени, а номером компоненты.

В своей работе автор называет алгеброй, некоторый алгоритм, следуя которому любые два вектора можно перемножить, и получить вектор того же пространства. Предполагается, что вектор можно разложить по базису этого пространства и алгебра полностью определяется заданием таблицы умножения базисных векторов. Таким образом, любой вектор можно представить в виде

, (2.3)

где - действительные функции времени, а - векторы базиса.

Следуя Маркусу [3], автор определяет таблицу умножения базисных векторов:

(2.4)

и тем самым определяет алгебру индуцированную системой дифференциальных уравнений. Таблицу умножения (2.4), можно записать в компактном матричном виде

(2.5)

Далее Ньюком использует разложение (2.3) и переписывает систему (2.1) в виде:

(2.6)

Для решения системы (2.6) необходимо использовать начальное условие , которое в индуцированной алгебре записывается в виде:

. (2.7)

Предполагая, что решение можем представить в виде степенного ряда, запишем его

(2.8)

здесь - вектор, векторные коэффициенты каждого слагаемого из (2.8)

, (2.9)

(2.10)

Для получения решения уравнения необходимо приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях в рядах (2.9) и (2.10). Поскольку j+k=i-1, в результате имеем:

(2.11)

Коэффициент определяется из начального условия

(2.12)

Используя (2.11) и коммутативность алгебры для упрощения, найдём соотношение между коэффициентами ряда (2.8):

, (2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16) (2.17)

Делись добром ;)