3. Исследование абсолютной устойчивости при неустойчивой линейной части

Все известные критерии абсолютной устойчивости сформулированы для случая, когда линейная часть системы асимптотически устойчива. Поэтому при неустойчивой линейной части для обеспечения возможности применения критериев абсолютной устойчивости, необходимо сначала преобразовать систему так, чтобы линейная часть преобразованной системы была устойчивой. Для этой цели обычно применяют дополнительную обратную связь.

Рассмотрим, например, систему, схема которой приведена на рис. 9,а [25], где передаточная функция

(6)

а нелинейность относится к классу [0,2; 6], т.е. .

Найти условия, при которых данная система абсолютно устойчива.

Линейная часть в данном случае неустойчива, поэтому введем дополнительные связи с коэффициентом передачи , как показано на рис. 9,а. Так как введённые связи компенсируют друг друга, то полученная схема эквивалентна исходной. Затем перенесём вход положительной обратной связи с выхода системы на выход сравнивающего элемента, как показано на рис. 9,б. Из-за переноса через сравнивающий элемент эта связь станет отрицательной, но результирующая система будет, по-прежнему, эквивалентна исходной.

а

б

в

Рис. 9

Передаточная функция с учетом (6) и нелинейность эквивалентной схемы (рис. 9,в) определяются по формулам

(), ()=()-.

Очевидно в рассматриваемом случае

, (7)

Так как система с () (7) должна быть устойчивой, то рассматриваемая система может быть абсолютно устойчивой, если только и .

Имея в виду применение критерия Попова, примем . Тогда , а из условия следует неравенство или .

В рассматриваемом случае порядок линейной части равен двум, поэтому при и годограф Попова будет располагаться в четвертом и третьем квадранте, как показано на рис. 7. При этом прямую Попова через точку (-1/5,8; j0) можно всегда провести так, что критерий Попова будет выполняться.

Итак, рассматриваемая система будет абсолютно устойчива при и .