5. Робастная устойчивость

Абсолютная устойчивость, как отмечалось выше, связана со стремлением учесть неопределенности, возникающие при описании нелинейностей, входящих в модели динамических систем. Однако в общем случае линейные элементы также могут содержать неопределенности, так как параметры их моделей также определяются с некоторыми погрешностями. В связи с этим вводится, так называемая, робастная устойчивость систем управления.

Неопределенности в определении параметров системы, таких как постоянные времени или коэффициенты передачи приводят к тому, что точные значения этих параметров оказываются неизвестными. Фактически, всегда известно лишь, что значения этих параметров лежат в некоторых пределах: , . Подчеркнем, что сами коэффициенты , постоянные времени и другие параметры системы считаются при этом постоянными.

Это приводит к тому, что в отношении, например, коэффициентов характеристического полинома и других параметров различных моделей системы управления известными оказываются лишь интервалы, в которых лежат их значения.

Например, коэффициенты характеристического полинома

(9)

линейной системы могут быть заданы соотношениями

 или . (10)

Заданные таким способом коэффициенты называются интервальными, а разность - интервалом. Верхние и нижние значения рассчитываются по верхним , и нижним , значениям коэффициентов , методами интервальной математики [22].

Обычно интервальный полином -го порядка записывается следующим образом

. (11)

В технических приложениях различные погрешности, неопределенности чаще всего определяются относительной погрешностью. Поэтому и коэффициенты характеристического полинома часто задаются своими расчетными значениями , найденными с некоторой относительной погрешностью %, т.е. . При таком задании коэффициентов их верхние и нижние значения определяются очевидными соотношениями:

, . (12)

В связи с этим в дальнейшем будем считать, что заданы верхние и нижние значения коэффициентов характеристического полинома (11) исследуемой системы управления. Относительные погрешности % могут быть одинаковыми для всех коэффициентов, т.е. , .

Определение. Динамическая система с характеристическим полиномом (11) является робастно устойчивой, если она является асимптотически устойчивой в целом при любых значениях постоянных коэффициентов , из интервалов (10).

Для оценки робастной устойчивости систем с интервальными параметрами обычно используется критерий, предложенный В.Л. Харитоновым [22]. Этот критерий позволяет свести задачу исследования робастной устойчивости динамических систем к задаче исследования гурвицевости некоторых полиномов. С этой целью сначала составляются четыре полинома Харитонова следующего вида:

,

,

,

. (13)

Каждый из этих полиномов имеет степень, равную степени интервального полинома (11), а их коэффициенты равны граничным значениям интервальных коэффициентов этого полинома.

Критерий Харитонова. Динамическая система с интервальным характеристическим полиномом (11) является робастно устойчивой, если все четыре полинома Харитонова (13) являются гурвицевыми. ¦

Таким образом, для исследования робастной устойчивости некоторой системы с интервальными параметрами , необходимо найти интервальный характеристический полином этой системы в форме (11), затем составить четыре полинома Харитонова (13) и проверить удовлетворяют ли они критерию Гурвица или Рауса.

Пример 3. Исследовать робастную устойчивость системы с характеристическим полиномом

.

Решение. Полиномы Харитонова в данном случае имеют вид

, ,

, . (14)

В данном случае степени полиномов Харитонова . Поэтому

вместо критерия Гурвица можно воспользоваться критерием асимптотической устойчивости Вышнеградского.

Напомним, что в соответствии с критерием Вышнеградского полином третьей степени является гурвицевым, если все его коэффициенты больше нуля, и произведение его «средних» коэффициентов больше произведения «крайних» коэффициентов.

Применяя этот критерий к полиномам (14), найдем, что в данном случае все четыре полинома Харитонова (14) являются гурвицевыми. Следовательно, рассматриваемая система является робастно устойчивой. ¦

Рассмотрим на конкретном примере задачу оценки робастной устойчивости системы 3-го порядка при задании относительной точности настройки её параметров.

Пример 4. Оценить робастную устойчивость системы с характеристическим полиномом

(15)

при 5% и 2% погрешности реализации его коэффициентов.

Решение. При точных (расчетных) значениях коэффициентов данная система, очевидно, является асимптотически устойчивой. Действительно, все коэффициенты полинома (15) больше нуля, а произведение его «средних» коэффициентов равно 186, что больше произведения «крайних» коэффициентов, равного 160. Поэтому в соответствии с критерием Вышнеградского система устойчива.

При реализации коэффициентов с погрешностью 5% согласно (12) граничные значения интервалов равны:

, ,

, ,

, ,

, .

Следовательно, интервальный полином рассматриваемой системы в данном случае имеет вид

,

а соответствующие полиномы Харитонова

, ,

, .

В данном случае первый, второй и четвертый полиномы удовлетворяют критерию Вышнеградского, а третий - не удовлетворяет, так как 2,8558,9=167,865, а 8,421=176,4.

Таким образом, при реализации коэффициентов с погрешностью 5% рассматриваемая система не является робастно устойчивой.

При реализации коэффициентов с погрешностью 2% граничные значения интервалов равны:

, ,

, ,

, ,

, .

а соответствующие полиномы Харитонова

, ,

, .

При этом неравенства критерия Вышнеградского имеют вид: 185,93>159,94; 185,93>159,94; 178,63>166,46; 193,15>153,64.

Таким образом, при реализации коэффициентов с погрешностью 2% все четыре полинома Харитонова удовлетворяют критерию Вышнеградского, т.е. в этом случае рассматриваемая система является робастно устойчивой.