1.4.8 Формула Пика
Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S - площадь многоугольника, - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку .
Будем рассматривать ниже только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги - в таких, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать такую формулу:
где - площадь, r - число узлов, которые лежат строго внутри многоугольника.
Эту формулу называют «формула Пика» - по имени математика, открывшего её в 1899 году.
Простые треугольники
Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Проделав это, например, для треугольников, изображённых на рисунке 1.34, можно убедиться, что площадь получается всегда равной «полученному» числу - числу вида , где - целое.
Рис. 1.34
Назовём треугольник простым, если ни внутри него, ни на его сторонах нет узлов сетки, за исключением вершин. Все простые треугольники на рис. 1.34 имеют площадь . Мы увидим, что это не случайно.
Задача. Три кузнечика (три точки) в начальный момент времени сидят в трёх вершинах одной клетки, а затем начинают «играть в чехарду»: каждый может прыгнуть через одного из двух других, после чего оказывается в симметричной относительно его точке (рис. 1.35, ясно, что после любого числа таких прыжков кузнечики будут попадать в узлы клетчатой бумаги). В каких тройках точек могут через несколько прыжков оказаться кузнечики?
Рис. 1.35
Назовём треугольник достижимым, если в его вершинах могут одновременно оказаться три кузнечика, которые вначале были в трёх вершинах одной клетки; прыжком будем называть преобразование треугольника, заключающееся в том, что одна из вершин переходит в точку, симметричную относительно любой из двух других вершин (эти две вершины остаются на месте).
- Введение
- Глава 1. Теоретические основы изучения площадей многоугольников
- 1.1 Вычисление площадей в древности
- 1.2 Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника»
- 1.2.1 Понятие о площади. Свойства площади
- 1.2.2 Понятие о многоугольнике
- 1.2.3 Понятие о площади многоугольника. Дескриптивное определение
- 1.3 Различные формулы площадей многоугольников
- 1.4 Вывод формул площадей многоугольников
- 1.4.1 Площадь треугольника. Формула Герона
- 1.4.2 Площадь прямоугольника
- 1.4.3 Площадь трапеции
- 1.4.4 Площадь четырёхугольника
- 1.4.5 Универсальная формула
- 1.4.6 Площадь n-угольника
- 1.4.7 Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин
- 1.4.8 Формула Пика
- 9. Длина отрезка. Площадь многоугольника. Объем многогранника.
- 2.5 Площади правильных многоугольников.
- 2 Балла Конспект урока по теме: Площадь многоугольника
- 15.1.1. Площадь многоугольника
- Площадь многоугольника
- Многоугольники
- 4. Площадь многоугольника
- §5. Площадь многоугольника. Теорема существования
- 4. Площадь многоугольника