4. Площадь многоугольника
Формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосновывают, исходя из определения площади, при этом численное значение площади называют площадью, а численное значение длины отрезка - длиной.
Теорема.Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.
Напомним, что слово «площадь» в этой формулировке означает численное значение площади, а слово «длина» - численное значение длины отрезка.
Доказательство. Если F- данный прямоугольник, а числа а, b-длины его сторон, то S(F) = а·b. Докажем это.
Пусть а и b - натуральные числа. Тогда прямоугольник F можно разбить на единичные квадраты (рис. 3): F = Е ⊕ Е ⊕ Е ⊕ ... ⊕ Е. Всего их а·b, так как имеем b рядов, в каждом из которых а квадратов. Отсюда
S(F) = S(Е) + S(Е)+…+ S(Е)= а·b·S(Е)= а·b.
а·b слаг. 1
Пусть теперь а и b - положительные рациональные числа: а=m/n, b=p/q, где т, п, р, q - натуральные числа.
Приведем данные дроби к общему знаменателю: а= mq/nq, b=np/pq
Разобьем сторону единичного квадрата Е на пq равных частей. Если через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то квадрат Е разделится на (пq)г более мелких квадратов. Обозначим площадь каждого такого квадрата Е1. Тогда S(Е) = (пq)г S(Е1), а поскольку S(Е) = 1, то
S(Е1)= 1/(пq)г.
Так как а= mq/nq, b=np/pq, то отрезок длиной 1/nq укладывается на стороне а точно mq раз, а на стороне b – точно np раз. Поэтому данный прямоугольник F будет состоять из mq·np квадратов Е1. Следовательно,
S(F) = mq·np· S(Е1) = mq·np(1/(пq)г = ( mq·np)/( np·np)=m/p· p/q= а·b.
Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами а и b, то площадь этого прямоугольника вычисляется по формуле S(F) = а·b.
Случай, когда длины сторон прямоугольника выражаются положительными действительными числами, мы опускаем.
Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Доказательство. Пусть АВСD - параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 4). Опустим перпендикуляр СЕ из вершины С на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) = S(АВСD) + S(СDЕ).
Опустим перпендикуляр ВF из вершины В на прямую АD. Тогда S (АВСЕ) = S (ВСЕF) + S (АВF).
Так как треугольники АВF и СDЕ равны, то равны и их площади.
Отсюда следует, что S(АВСD) = S(ВСЕF), т.е. площадь параллелограмма АВСD равна площади прямоугольника ВСЕF и равна ВС·ВР, а так как ВС = АD, то S(АВС) = АD ·ВF.
Из этой теоремы вытекает следствие: площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.
Теорема.Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой Р, радиус вписанной окружности – r, а площадь правильного многоугольника – S, то, согласно данной теореме, S = 1/2· P· s.
Доказательство. Пусть АВСВ - параллелограмм, не являющийся прямоугольником (см. рис.). Опустим перпендикуляр СЕ из вершины С на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) = S(АВСD) + S(СDЕ).
Опустим перпендикуляр ВF из вершины В на прямую АВ.
Тогда S(АВСЕ)= S(ВСЕF) + S(АВF).
Так как треугольники АВF и СDЕ равны, то равны и их площади.
Отсюда следует, что S(АВСD) = S(ВСЕF), т.е. площадь параллелограмма АВСD равна площади прямоугольника ВСЕF и равна ВС·ВF, а так как ВС = АD, то S(АВСD) = АD·ВF.
В С
Из этой теоремы вытекает следствие:площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.
А FDE
Заметим, что слова «сторона» и «высота» обозначают численные значения длин соответствующих отрезков.
Теорема: Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой Р, радиус вписанной окружности – r, а площадь – S, то, согласно данной теореме, S = • Р•r.
Доказательство. Разобьем правильный n-угольник на n треугольников, соединяя отрезками вершины n-угольника с центром вписанной окружности. Эти треугольники равны. Площадь каждого из них равна • а•r,
Тогда площадь многоугольника равна • а•r•n, но а•n = Р. Следовательно, S = • Р•r.
Если F- произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники (или другие фигуры, для которых известны правила вычисления площади). В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольник по-разному разбить на части и найти их площади, то будут ли полученные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми? Доказано, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.
Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматривают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойства фигур.
Многоугольники F₁ и F₂ называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.
Например, равносоставлены параллелограмм АВСD и прямоугольник FВСЕ, так как параллелограмм состоит из фигур F₁ и F₂, а прямоугольник - из фигур F₂ и F₃, причем F₁ = F₂.
Нетрудно убедиться в том, что равносоставленные фигуры равновелики.
Венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким любителем математики П.Гервином была доказана теорема: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Другими словами, если два многоугольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.
Теорема Бойяи-Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.
Доказательство сложное. Мы докажем только утверждение о том, что всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником, т.е. всякий треугольник можно перекроить в равновеликий ему прямоугольник.
В
Р К Т L M
А D C
Пусть дан треугольник АВС. Проведем в нем высоту DВ и среднюю линию КL. Построим прямоугольник, одной стороной которого является АС, а другая лежит на прямой КL. Так как пары треугольников АРК и КВТ, а также СLМ и ТВL равны, то треугольник АВС и прямоугольник АРМС равносоставлены.
- 050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- Глава I. Элементы логики
- § 1. Множества и операции над ними
- 1. Понятие множества и элемента множества
- 2. Способы задания множеств
- 3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- 4. Пересечение множеств
- 5. Объединение множеств
- 6. Свойства пересечения и объединения множеств
- 7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- 8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- 9. Декартово произведение множеств
- 10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- 11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- 12. Основные понятия:
- § 2. Математические понятия
- 3. Способы определения понятий
- 4. Основные выводы
- § 3. Математические предложения
- § 4. Математическое доказательство
- 26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- §5. Текстовая задача и процесс ее решения
- 29. Структура текстовой задачи
- 30. Методы и способы решения текстовых задач
- 31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- 2. Поиск и составление плана решения задачи
- 3. Осуществление плана решения задачи
- 4. Проверка решения задачи
- 5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- Упражнения
- 32. Решение задач «на части»
- Упражнения
- 33. Решение задач на движение
- Упражнения
- 34. Основные выводы.
- §6. Комбинаторные задачи и их решение
- § 7. Алгоритмы и их свойства
- Упражнения
- Упражнения
- Глава II. Элементы алгебры
- § 8. Соответствия между двумя множествами
- 41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- 2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- 3. Взаимно-однозначные соответствия
- Упражнения
- 42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- 2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- Упражнения
- 43. Основные выводы § 8
- § 9. Числовые функции
- 44. Понятие функции. Способы задания функций
- 2. График функции. Свойство монотонности функции
- Упражнения
- 45. Прямая и обратная пропорциональности
- Упражнения
- 46. Основные выводы § 9
- §10. Отношения на множестве
- 47. Понятие отношения на множестве
- Упражнения
- 48. Свойства отношений
- R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- 49. Отношения эквивалентности и порядка
- Упражнения
- 50. Основные выводы § 10
- § 11. Алгебраические операции на множестве
- 51. Понятие алгебраической операции
- Упражнения
- 52. Свойства алгебраических операций
- Упражнения
- 53. Основные выводы § 11
- § 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- 54. Выражения и их тождественные преобразования
- Упражнения
- 55. Числовые равенства и неравенства
- Упражнения
- 56. Уравнения с одной переменной
- 2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- 3. Решение уравнений с одной переменной
- Упражнения
- 57. Неравенства с одной переменной
- 2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- 3. Решение неравенств с одной переменной
- Упражнения
- 58. Основные выводы § 12
- Упражнения
- Глава III. Натуральные числа и нуль
- § 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- § 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- 59. Об аксиоматическом способе построения теории
- Упражнения
- 60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- Упражнения
- 61. Сложение
- 62. Умножение
- 63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- Упражнения
- 64. Вычитание
- Упражнения
- 65. Деление
- 66. Множество целых неотрицательных чисел
- Упражнения
- 67. Метод математической индукции
- Упражнения
- 68. Количественные натуральные числа. Счет
- Упражнения
- 69. Основные выводы § 14
- 70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- Упражнения
- Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- 71. Теоретико-множественный смысл суммы
- Упражнения
- 72. Теоретико-множественный смысл разности
- Упражнения
- 73. Теоретико-множественный смысл произведения
- Упражнения
- 74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- Упражнения
- 75. Основные выводы § 15
- §16. Натуральное число как мера величины
- 76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- Упражнения
- 77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- Упражнения
- 78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- 79. Основные выводы § 16
- 80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- 81. Запись числа в десятичной системе счисления
- Упражнения
- 82. Алгоритм сложения
- Упражнения
- 83. Алгоритм вычитания
- Упражнения
- 84. Алгоритм умножения
- Упражнения
- 85. Алгоритм деления
- 86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- 87. Основные выводы § 17
- § 18. Делимость натуральных чисел
- 88. Отношение делимости и его свойства
- 89. Признаки делимости
- 90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- 2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- 3. Признак делимости на составное число
- Упражнения
- 91. Простые числа
- 92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- 93. Основные выводы § 18
- 3. Дистрибутивности:
- § 19. О расширении множества натуральных чисел
- 94. Понятие дроби
- Упражнения
- 95. Положительные рациональные числа
- 96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- 97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- 98. Действительные числа
- 99. Основные выводы § 19
- Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- § 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- 1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- 2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- 3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- § 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- § 22. Построение геометрических фигур
- 1. Элементарные задачи на построение
- 2. Этапы решения задачи на построение
- Упражнения
- 3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- Основные выводы
- §24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- 1. Свойства параллельного проектирования
- 2. Многогранники и их изображение
- Тетраэдр Куб Октаэдр
- Упражнения
- 3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- Основные выводы
- § 25. Геометрические величины
- 1. Длина отрезка и ее измерение
- 1) Равные отрезки имеют равные длины;
- 2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- Упражнения
- 2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- 1) Равные углы имеют равные величины;
- 2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- Упражнения
- 1) Равные фигуры имеют равные площади;
- 2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- 4. Площадь многоугольника
- 5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- Упражнения
- Основные выводы
- 1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- 1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- 2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- Заключение
- Список литературы